Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
(h)
(i)

Passo 1

Beleza, temos que resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre trigonometria e como usá-la para simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de substituição trigonométrica que vamos usar. Observamos que na raiz temos , que se encaixa no formato . Isso sugere que usaremos a substituição trigonométrica onde . Nesse caso, , então .

Passo 3

Fazendo a substituição:
Agora, precisamos encontrar . Derivando em relação a :

Passo 4

Substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então a raiz fica:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
As e cancelam:
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 6

Agora, precisamos retornar à variável original . Lembrando que fizemos , podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar .
No triângulo:
  • Hipotenusa =
  • Adjacente =
  • Oposto =
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para a integral:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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