Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a) integral 1x^2 raizx^2-9 d x
(b) integral x^3 raiz9-x^2 d x
© integral x^3raizx^2+9 d x
(d) integral0^2 / 3 x^3 raiz4-9 x^2 d x
(f) integral d x(5-4 x-x^2)^5 / 2
(g) integralraiz23^2 / 3 d xx^5 raiz9 x^2-1
(h) integral xraizx^2-3 d x
(i) integral x^2(3+4 x-4 x^2)^3 / 2 d x

Passo 1

Beleza, temos que resolver a integral . Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre trigonometria e como usá-la para simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de substituição trigonométrica que vamos usar. Observamos que na raiz temos , que se encaixa no formato . Isso sugere que usaremos a substituição trigonométrica onde . Nesse caso, , então .

Passo 3

Fazendo a substituição:
x = raiz3 sec(theta)
Agora, precisamos encontrar dx = raiz3 sec(theta) tan(theta) , dtheta . Derivando em relação a :

Passo 4

Substituímos integral raiz3 sec(theta)raiz(raiz3 sec(theta))^2 - 3 cdot raiz3 sec(theta) tan(theta) , dtheta e (raiz3 sec(theta))^2 - 3 = 3 sec^2(theta) - 3 = 3(sec^2(theta) - 1) = 3 tan^2(theta) na integral original:
raiz3 tan^2(theta) = raiz3 tan(theta)
Simplificando dentro da raiz:
Então a raiz fica:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral raiz3 sec(theta)raiz3 tan(theta) cdot raiz3 sec(theta) tan(theta) , dtheta
As integral sec^2(theta) , dtheta e integral sec^2(theta) , dtheta = tan(theta) + C cancelam:
Sabemos que a integral de é , então:

Passo 6

Agora, precisamos retornar à variável original tan(theta) = raizx^2 - 3raiz3 . Lembrando que fizemos , podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar .
No triângulo:
  • Hipotenusa =
  • Adjacente =
  • Oposto =
Então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão para a integral:
tan(theta) + C = raizx^2 - 3raiz3 + C
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por raiz3 raizx^2 - 33 + C = raizx^2 - 3raiz3 + C :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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