Calcule as integrais usando substituição trigonométrica. Esboce o triângulo retângulo associado.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
(h)
(i)
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(g)
(h)
(i)
Passo 1
Beleza, temos que resolver a integral
. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais usando substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre trigonometria e como usá-la para simplificar integrais que envolvem expressões quadráticas dentro de raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de substituição trigonométrica que vamos usar. Observamos que na raiz temos
, que se encaixa no formato
. Isso sugere que usaremos a substituição trigonométrica onde
. Nesse caso,
, então
.
Passo 3
Fazendo a substituição:
Agora, precisamos encontrar
. Derivando
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então a raiz fica:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
As
e
cancelam:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 6
Agora, precisamos retornar à variável original
. Lembrando que fizemos
, podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar
.
No triângulo:
- Hipotenusa =
- Adjacente =
- Oposto =
Então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão para a integral:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A integral
é igual a
, onde
é a constante de integração.
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