Calcule: integral arcsen 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma função trigonométrica inversa, especificamente o arco seno. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos um produto de funções. Então, vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que diz:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . No nosso caso, vamos deixar e . Isso porque derivar o arco seno vai simplificar, e integrar é fácil.

Passo 3

Agora, vamos encontrar du = ddx arcsen(2x) , dx = 2raiz1 - (2x)^2 , dx = 2raiz1 - 4x^2 , dx e v = integral dx = x :
Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é , então:
Integrando , temos:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante:
integral x cdot 2raiz1 - 4x^2 , dx = 2 integral xraiz1 - 4x^2 , dx
Aqui, podemos fazer uma substituição para facilitar. Deixe dw = -8x , dx Rightarrow x , dx = -dw8 , então:
2 integral xraizw , dx = 2 ( -18 integral w^-1/2 , dw ) = -14 integral w^-1/2 , dw
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando integral w^-1/2 , dw = 2w^1/2 + C :
-14 integral w^-1/2 , dw = -14 cdot 2w^1/2 = -12 raizw = -12 raiz1 - 4x^2
Então:

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:

Resposta

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