Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos lidando com uma função trigonométrica inversa, especificamente o arco seno. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos um produto de funções. Então, vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes, que diz:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . No nosso caso, vamos deixar e . Isso porque derivar o arco seno vai simplificar, e integrar é fácil.

Passo 3

Agora, vamos encontrar e :
Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada de é , então:
Integrando , temos:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar a integral restante:
Aqui, podemos fazer uma substituição para facilitar. Deixe , então:
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando :
Então:

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:

Resposta

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