Calcule integral raiz1+3 cos ^2 x sen 2 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Para isso, vamos utilizar técnicas de cálculo integral, especialmente a substituição, que nos ajudará a simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observe que integral raiz1+3 cos^2 x cdot 2 sin x cos x , dx pode ser reescrita usando a identidade trigonométrica . Assim, a integral fica:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão multiplicando os constantes:
2 integral raiz1+3 cos^2 x cdot sin x cos x , dx

Passo 4

Agora, vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja dudx = 6 cos x (-sin x) = -6 sin x cos x . Então, calculamos a derivada de em relação a :

Passo 5

Rearranjando a expressão da derivada, temos:
sin x cos x , dx = -16 du
Substituindo na integral:
2 integral raizu cdot (-16) du = -13 integral raizu , du

Passo 6

Agora, integramos -13 integral u^12 , du = -13 cdot 23 u^32 + C = -29 u^32 + C :

Passo 7

Finalmente, substituímos -29 (1 + 3 cos^2 x)^32 + C de volta para :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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