Calcule integral 1x raiz1-ln ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . A gente vai usar o conteúdo de integração por substituição, que é uma técnica para simplificar integrais complicadas fazendo mudanças de variável. Pra resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar . Assim, precisamos descobrir como se relaciona com .

Passo 3

Calculando a derivada de du = ddx (ln x) , dx = 1x dx em relação a 1x dx = du :
Isso significa que:

Passo 4

Agora, vamos substituir integral 1x raiz1 - (ln x)^2 dx = integral 1raiz1 - u^2 du por e por na integral original:

Passo 5

A integral integral 1raiz1 - u^2 du = arcsin(u) + C é uma forma padrão que conhecemos. Ela é igual ao arco seno de :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original substituindo arcsin(u) + C = arcsin(ln x) + C :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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