Calcule integral d x(x-1)^2(x-4).

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral . Isso envolve o assunto de integrais racionais, onde a gente geralmente usa a técnica de frações parciais para resolver. A ideia é quebrar essa fração complicada em frações mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais. A gente quer escrever como uma soma de frações do tipo .

Passo 3

Multiplicando ambos os lados da igualdade por 1 = A(x-1)(x-4) + B(x-4) + C(x-1)^2 , a gente tem:
Agora, precisamos encontrar os valores de , e .

Passo 4

Vamos escolher valores de 1 = A(0)(-3) + B(-3) + C(0) Rightarrow -3B = 1 Rightarrow B = -13 que simplificam a equação.
  • Se 1 = A(3)(0) + B(0) + C(3)^2 Rightarrow 9C = 1 Rightarrow C = 19 :
  • Se :

Passo 5

Agora, para encontrar 1 = A(-1)(-4) + B(-4) + C(1) Rightarrow 4A - 43 + 19 = 1 , podemos escolher outro valor de 4A = 1 + 43 - 19 = 99 + 129 - 19 = 209 Rightarrow A = 59 , por exemplo, :
Resolvendo:

Passo 6

Agora que temos 5/9x-1 + -1/3(x-1)^2 + 1/9x-4 , 59cdot1x-1 - 13cdot1(x-1)^2 + 19cdot1x-4 e , podemos escrever a fração original como:
Ou simplificando:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral 59cdot1x-1 dx - integral 13cdot1(x-1)^2 dx + integral 19cdot1x-4 dx
As integrais são:
59ln|x-1| + 13cdot1x-1 + 19ln|x-4| + C

Resposta

A integral 59ln|x-1| + 13cdot1x-1 + 19ln|x-4| + C é igual a:

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