A equação da reta tangente a uma curva no ponto 0,2 é y = 6 x + 2. Sabendo que em um ponto qualquer (x, y) da curva, f'(x) = 6x^2 + k ( k uma constante), encontrar a equação dessa curva.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva cuja reta tangente no ponto 0,2 é . Além disso, sabemos que a derivada da função f(x) nessa curva é , onde k é uma constante desconhecida. Nosso objetivo é encontrar a equação completa dessa curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma derivada. A derivada de uma função f(x) nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto x. Sabemos que . Para encontrar a função original f(x), precisamos integrar .

Passo 3

Vamos integrar para encontrar f(x):
Integrando termo a termo:
Aqui, C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Sabemos que a curva passa pelo ponto 0,2. Vamos usar essa informação para encontrar C. Substituindo x = 0 e na equação de f(x):
Portanto, a função fica:

Passo 5

Agora, vamos usar a informação sobre a reta tangente. A reta tangente no ponto 0,2 é . A inclinação dessa reta é 6, que é igual à derivada da função no ponto x = 0. Ou seja:
Portanto, .

Resposta

A equação da curva é:

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