A equação da reta tangente a uma curva no ponto
é
. Sabendo que em um ponto qualquer
da curva,
(
uma constante), encontrar a equação dessa curva.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma curva cuja reta tangente no ponto
é
. Além disso, sabemos que a derivada da função
nessa curva é
, onde
é uma constante desconhecida. Nosso objetivo é encontrar a equação completa dessa curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma derivada. A derivada
de uma função
nos dá a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto
. Sabemos que
. Para encontrar a função original
, precisamos integrar
.
Passo 3
Vamos integrar
para encontrar
:
Integrando termo a termo:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Sabemos que a curva passa pelo ponto
. Vamos usar essa informação para encontrar
. Substituindo
e
na equação de
:
Portanto, a função fica:
Passo 5
Agora, vamos usar a informação sobre a reta tangente. A reta tangente no ponto
é
. A inclinação dessa reta é 6, que é igual à derivada da função no ponto
. Ou seja:
Portanto,
.
Resposta
A equação da curva é: