Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados
f(x, y)=y^3 e^x y^2 e B o retângulo 0 <= x <= 1,1 <= y <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde a função f(x, y) é dada por y^3 e^x y^2 e a região B é um retângulo definido por 0 <= x <= 1 e 1 <= y <= 2. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Vamos começar integrando a função f(x, y) = y^3 e^x y^2 em relação a x, mantendo y como uma constante. A integral fica assim:
integral0^1 y^3 e^x y^2 , dx
Aqui, y^3 é uma constante em relação a x, então podemos tratá-la como um número fixo durante essa integração.

Passo 3

Para integrar e^x y^2 em relação a x, usamos a fórmula básica da integral de uma exponencial:
integral e^ax , dx = 1a e^ax + C
No nosso caso, a = y^2. Então, a integral fica:
integral e^x y^2 , dx = 1y^2 e^x y^2 + C
Multiplicando pela constante y^3 que tínhamos fora da integral, temos:
y^3 cdot 1y^2 e^x y^2 = y e^x y^2
Agora, avaliamos essa expressão de x = 0 a x = 1:
y e^1 cdot y^2 - y e^0 cdot y^2 = y e^y^2 - y

Passo 4

Agora que temos a integral em relação a x resolvida, precisamos integrar o resultado em relação a y de 1 a 2:
integral1^2 (y e^y^2 - y) , dy = integral1^2 y e^y^2 , dy - integral1^2 y , dy
Para a primeira integral, fazemos uma substituição simples:
Seja u = y^2, então du = 2y , dy ou y , dy = 12 du.
Então,
integral y e^y^2 , dy = 12 integral e^u , du = 12 e^u + C = 12 e^y^2 + C
Agora, avaliando de 1 a 2:
12 (e^4 - e^1)
Para a segunda integral:
integral y , dy = 12 y^2 + C
Avaliando de 1 a 2:
12 (4 - 1) = 32
Agora, juntando tudo:
12 (e^4 - e) - 32 = 12 e^4 - 12 e - 32

Resposta

A integral dupla vale:
12 e^4 - 12 e - 32

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