Calcule sendo dados
e o retângulo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde a função é dada por e a região é um retângulo definido por e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo como uma constante. A integral fica assim:
Aqui, é uma constante em relação a , então podemos tratá-la como um número fixo durante essa integração.

Passo 3

Para integrar em relação a , usamos a fórmula básica da integral de uma exponencial:
No nosso caso, . Então, a integral fica:
Multiplicando pela constante que tínhamos fora da integral, temos:
Agora, avaliamos essa expressão de a :

Passo 4

Agora que temos a integral em relação a resolvida, precisamos integrar o resultado em relação a de 1 a 2:
Para a primeira integral, fazemos uma substituição simples:
Seja , então ou .
Então,
Agora, avaliando de 1 a 2:
Para a segunda integral:
Avaliando de 1 a 2:
Agora, juntando tudo:

Resposta

A integral dupla vale:

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