Calcule
sendo dados
e
o retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde a função
é dada por
e a região
é um retângulo definido por
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente integrais duplas sobre regiões retangulares. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
como uma constante. A integral fica assim:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tratá-la como um número fixo durante essa integração.
Passo 3
Para integrar
em relação a
, usamos a fórmula básica da integral de uma exponencial:
No nosso caso,
. Então, a integral fica:
Multiplicando pela constante
que tínhamos fora da integral, temos:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Passo 4
Agora que temos a integral em relação a
resolvida, precisamos integrar o resultado em relação a
de 1 a 2:
Para a primeira integral, fazemos uma substituição simples:
Seja , então
ou
.
Seja
Então,
Agora, avaliando de 1 a 2:
Para a segunda integral:
Avaliando de 1 a 2:
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral dupla vale:
Exercícios relacionados
Mostre que
e
são vértices de um paralelogramo.
Calcule:
Considerando o conjunto dos números inteiros, responda: Qual é o antecessor de 58?
Passa pelo ponto
, inclinação -3