Calcule a integral escolhendo uma ordem de integração conveniente:
integral duplaR x cos (x y) cos ^2(pi x) d A
sendo R=[0, 12] times[0, pi]

Passo 1

Vamos calcular uma integral dupla sobre a região . A função a ser integrada é . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração múltipla e escolher a ordem de integração que facilita os cálculos.

Passo 2

Primeiro, precisamos decidir a ordem de integração: integrar em relação a primeiro ou a . Escolheremos integrar em relação a primeiro, pois a função se integra de forma mais simples nesse caso.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em relação a integral0^12 ( integral0^pi x cos(xy) cos^2(pi x) , dy ) dx :

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integral0^pi x cos(xy) , dy :
Aqui, podemos tratar como uma constante em relação a .

Passo 5

Integrando integral cos(k y) , dy = sin(k y)k + C em relação a x cdot [ sin(xy)x ]0^pi = sin(pi x) - sin(0) = sin(pi x) , usamos a fórmula básica da integral de :
Aplicando isso:

Passo 6

Substituímos o resultado na integral externa:
integral0^12 sin(pi x) cos^2(pi x) , dx

Passo 7

Para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica para cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2 :
integral0^12 sin(pi x) cdot 1 + cos(2pi x)2 , dx = 12 integral0^12 sin(pi x) , dx + 12 integral0^12 sin(pi x) cos(2pi x) , dx
Aplicando isso:

Passo 8

Resolvemos cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
12 integral0^12 sin(pi x) , dx = 12 cdot [ -cos(pi x)pi ]0^12 = 12 cdot ( -cos(pi2)pi + cos(0)pi ) = 12 cdot ( 0 + 1pi ) = 12pi
Segunda integral:
Usamos a identidade sin(pi x)cos(2pi x) = sin(3pi x) + sin(-pi x)2 = sin(3pi x) - sin(pi x)2 :
12 integral0^12 sin(pi x)cos(2pi x) , dx = 14 ( integral0^12 sin(3pi x) , dx - integral0^12 sin(pi x) , dx )
Então,
integral sin(kx) , dx = -cos(kx)k + C
Integrando cada termo:
14 ( -cos(3pi x)3pi + cos(pi x)pi )0^12 = 14 ( 0 - 23pi ) = -16pi
Aplicando os limites:

Passo 9

Finalmente, somamos as duas partes:
12pi - 16pi = 3 - 16pi = 26pi = 13pi

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados