Calcule a integral escolhendo uma ordem de integração conveniente:
sendo
Passo 1
Vamos calcular uma integral dupla sobre a região
. A função a ser integrada é
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração múltipla e escolher a ordem de integração que facilita os cálculos.
Passo 2
Primeiro, precisamos decidir a ordem de integração: integrar em relação a
primeiro ou a
. Escolheremos integrar em relação a
primeiro, pois a função
se integra de forma mais simples nesse caso.
Passo 3
Escrevemos a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em relação a
:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Aqui, podemos tratar
como uma constante em relação a
.
Passo 5
Integrando
em relação a
, usamos a fórmula básica da integral de
:
Aplicando isso:
Passo 6
Substituímos o resultado na integral externa:
Passo 7
Para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica para
:
Aplicando isso:
Passo 8
Resolvemos cada uma das integrais separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Usamos a identidade :
Usamos a identidade
Então,
Integrando cada termo:
Aplicando os limites:
Passo 9
Finalmente, somamos as duas partes:
Resposta
A integral vale
.