Use integral dupla para calcular o volume sob o plano z = 2 x + y e acima do retângulo R = {(x, y) | 3 <= x <= 5, 1 <= y <= 2}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo integral dupla para encontrar o volume abaixo do plano e acima do retângulo . Para isso, vamos precisar usar a teoria de integrais duplas, que permite calcular volumes sob superfícies sobre regiões específicas no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse volume. Estamos basicamente somando todos os pequenos pedaços de volume que estão entre o plano e o retângulo . Para isso, usamos a integral dupla:

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. O retângulo é definido por e . Isso significa que nossa integral dupla será:

Passo 4

Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo como constante:
Calculando isso:

Passo 5

Agora, temos uma função resultante que precisamos integrar em relação a de 1 a 2:
Calculando isso:

Resposta

O volume é igual a 19 unidades cúbicas.

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