Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas. Primeiro tratando
como uma região do tipo
e depois tratando
como uma região do tipo
.
é a região compreendida pelo círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre a região
, que é o círculo definido por
. Vamos usar integrais iteradas para fazer isso de duas maneiras diferentes: primeiro tratando
como uma região do tipo I e depois como uma região do tipo II. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada tipo de região e aplicar as fórmulas de integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar a região
como uma região do tipo I. Isso significa que para cada valor de
dentro do intervalo,
varia entre duas funções de
. No caso do círculo
, resolvemos para
e obtemos:
Então, para
variando de
a
,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla tratando
como uma região do tipo I:
Vamos resolver essa integral interna em relação a
primeiro.
Passo 4
Integrando
em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 5
Agora, integrando o resultado em relação a
:
Observamos que a função
é uma função ímpar em relação a
(pois
aparece com potência ímpar), e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:
Passo 6
Agora, vamos tratar a região
como uma região do tipo II. Isso significa que para cada valor de
dentro do intervalo,
varia entre duas funções de
. No caso do círculo
, resolvemos para
e obtemos:
Então, para
variando de
a
,
varia de
a
.
Passo 7
Agora, vamos escrever a integral dupla tratando
como uma região do tipo II:
Vamos resolver essa integral interna em relação a
primeiro.
Passo 8
Integrando
em relação a
:
Substituindo os limites:
Simplificando:
Passo 9
Agora, integrando o resultado em relação a
:
Similar ao passo anterior, a função
é ímpar em relação a
, e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero. Portanto, a integral é zero:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
definida pelo círculo
é igual a 0 em ambas as abordagens.