Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas. Primeiro tratando R como uma região do tipo I e depois tratando R como uma região do tipo I I.
integral duplaR 3 x-2 y d A, R é a região compreendida pelo círculo x^2+y^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular uma integral dupla sobre a região , que é o círculo definido por . Vamos usar integrais iteradas para fazer isso de duas maneiras diferentes: primeiro tratando como uma região do tipo I e depois como uma região do tipo II. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada tipo de região e aplicar as fórmulas de integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar a região y = raiz1 - x^2 e y = -raiz1 - x^2 como uma região do tipo I. Isso significa que para cada valor de dentro do intervalo, varia entre duas funções de . No caso do círculo , resolvemos para e obtemos:
Então, para variando de a , varia de a .

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla tratando integral duplaR (3x - 2y) , dA = integralx=-1^1 integraly=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 (3x - 2y) , dy , dx como uma região do tipo I:
Vamos resolver essa integral interna em relação a primeiro.

Passo 4

Integrando integraly=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 (3x - 2y) , dy = [3x y - y^2]-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 em relação a = 3x (raiz1 - x^2 - (-raiz1 - x^2)) - ( (raiz1 - x^2)^2 - (-raiz1 - x^2)^2 ) :
= 3x cdot 2raiz1 - x^2 - (1 - x^2 - (1 - x^2)) = 6xraiz1 - x^2 - 0 = 6xraiz1 - x^2
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 5

Agora, integrando o resultado em relação a integralx=-1^1 6xraiz1 - x^2 , dx :
integralx=-1^1 6xraiz1 - x^2 , dx = 0
Observamos que a função é uma função ímpar em relação a (pois aparece com potência ímpar), e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero. Portanto, a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero:

Passo 6

Agora, vamos tratar a região x = raiz1 - y^2 e x = -raiz1 - y^2 como uma região do tipo II. Isso significa que para cada valor de dentro do intervalo, varia entre duas funções de . No caso do círculo , resolvemos para e obtemos:
Então, para variando de a , varia de a .

Passo 7

Agora, vamos escrever a integral dupla tratando integral duplaR (3x - 2y) , dA = integraly=-1^1 integralx=-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 (3x - 2y) , dx , dy como uma região do tipo II:
Vamos resolver essa integral interna em relação a primeiro.

Passo 8

Integrando integralx=-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 (3x - 2y) , dx = [32x^2 - 2y x ]-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 em relação a = (32(raiz1 - y^2)^2 - 2y cdot raiz1 - y^2 ) - (32(-raiz1 - y^2)^2 - 2y cdot (-raiz1 - y^2) ) :
= (32(1 - y^2) - 2yraiz1 - y^2 ) - (32(1 - y^2) + 2yraiz1 - y^2 )
Substituindo os limites:
= 32(1 - y^2) - 2yraiz1 - y^2 - 32(1 - y^2) - 2yraiz1 - y^2 = -4yraiz1 - y^2
Simplificando:

Passo 9

Agora, integrando o resultado em relação a integraly=-1^1 -4yraiz1 - y^2 , dy :
integraly=-1^1 -4yraiz1 - y^2 , dy = 0
Similar ao passo anterior, a função é ímpar em relação a , e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero. Portanto, a integral é zero:

Resposta

A integral dupla sobre a região definida pelo círculo é igual a 0 em ambas as abordagens.

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