e mostre que a integral da função de Heaviside é a função de Green para a o operador derivada segunda:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função de Heaviside, que é basicamente uma função que “liga” de 0 para 1 em algum ponto. Além disso, precisamos mostrar que essa integral funciona como uma função de Green para o operador segunda derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais, a função de Heaviside e o conceito de função de Green.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de Heaviside, denotada por . Ela é definida da seguinte forma:
Basicamente, ela “ativa” a partir de zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de de até :
Como é 0 para e 1 para , a integral vai depender dos limites de integração em relação a zero.
Passo 4
Vamos considerar dois casos para facilitar:
Caso 1: e
Nesse caso, para todo no intervalo , então:
Caso 2: e
Aqui, a função de Heaviside muda de 0 para 1 em . Então, dividimos a integral:
Caso 3: e
Como já é maior ou igual a zero, em todo o intervalo :
Passo 5
Agora que calculamos , vamos mostrar que ela é a função de Green para o operador segunda derivada. A função de Green satisfaz:
Substituindo , temos diferentes comportamentos dependendo de onde está em relação a zero, mas essencialmente, ao aplicar a segunda derivada, obtemos uma “delta de Dirac”, que “puxa” de volta a função original .
Resposta
A integral da função de Heaviside é dada por:
E, ao utilizar essa d^2dx^2 integrala^b G(x - y) f(y) , dy = f(x) como função de Green para o operador segunda derivada, temos que:
Isso mostra que efetivamente atua como a função de Green para a segunda derivada.