Calcule a integral da função de Heaviside, i.e,
G(x) equiv integrala^x theta(y) d y
e mostre que a integral da função de Heaviside é a função de Green para a o operador derivada segunda:
d^2d x^2 integrala^b G(x-y) f(y) d y=f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral da função de Heaviside, que é basicamente uma função que “liga” de 0 para 1 em algum ponto. Além disso, precisamos mostrar que essa integral funciona como uma função de Green para o operador segunda derivada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais, a função de Heaviside e o conceito de função de Green.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de Heaviside, denotada por theta(y) = 0, & se y < 0 1, & se y >= 0 . Ela é definida da seguinte forma:
Basicamente, ela “ativa” a partir de zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de G(x) = integrala^x theta(y) , dy de até :
Como é 0 para e 1 para , a integral vai depender dos limites de integração em relação a zero.

Passo 4

Vamos considerar dois casos para facilitar:
  1. Caso 1: G(x) = integrala^x 0 , dy = 0 e G(x) = integrala^0 0 , dy + integral0^x 1 , dy = 0 + (x - 0) = x
    Nesse caso, G(x) = integrala^x 1 , dy = x - a para todo no intervalo , então:
  2. Caso 2: e
    Aqui, a função de Heaviside muda de 0 para 1 em . Então, dividimos a integral:
  3. Caso 3: e
    Como já é maior ou igual a zero, em todo o intervalo :

Passo 5

Agora que calculamos d^2dx^2 integrala^b G(x - y) f(y) , dy = f(x) , vamos mostrar que ela é a função de Green para o operador segunda derivada. A função de Green satisfaz:
Substituindo , temos diferentes comportamentos dependendo de onde está em relação a zero, mas essencialmente, ao aplicar a segunda derivada, obtemos uma “delta de Dirac”, que “puxa” de volta a função original .

Resposta

A integral da função de Heaviside é dada por:
G(x) = 0, & x < 0 x, & 0 <= x < a x - a, & x >= a
E, ao utilizar essa d^2dx^2 integrala^b G(x - y) f(y) , dy = f(x) como função de Green para o operador segunda derivada, temos que:
Isso mostra que efetivamente atua como a função de Green para a segunda derivada.

Exercícios relacionados

Mostre que podemos reescrever as expressões acima usando a função de Heaviside theta(x), i.e,
theta(x) = { 0, x < 0; 1, x ≥ 0 }
Ou seja, a função de Heaviside é a função de Green para a derivada.
Calcule a média e o valor esperado das potências pares de x, i.e,
lang<= x^2 nrang<==integral-infty^infty x^2 n psigma(x) d x
Escreva a função de Green em termos da distância sigma(x, y) = |x - y|.
Se f(x, y, z) = x * y^2 * z^3 + arcsen(x * raiz(z)), determine fxyz. [Dica: Qual ordem de diferenciação é a mais fácil?]