Se f(x, y, z) = x * y^2 * z^3 + arcsen(x * raiz(z)), determine fxyz. [Dica: Qual ordem de diferenciação é a mais fácil?]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e a missão é encontrar a derivada parcial mista . Isso significa que vamos derivar a função primeiro em relação a , depois em relação a e, por fim, em relação a . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções multivariáveis e a cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos começar derivando em relação a . A função tem duas partes: e .
  • Derivando a primeira parte em relação a :
  • Agora, derivando em relação a :
    Lembrando que a derivada de em relação a é , e aplicando a regra da cadeia:
Então, a primeira derivada em relação a fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Observando a expressão:
A segunda parte não depende de , então sua derivada em relação a será zero. Focamos na primeira parte:
Portanto,

Passo 4

Por fim, vamos derivar em relação a :
Derivando em relação a :
Então,

Resposta

A derivada parcial mista é .

Exercícios relacionados

Escreva a função de Green em termos da distância sigma(x, y) = |x - y|.
Calcule a integral da função de Heaviside, i.e,
G(x) equiv integrala^x theta(y) d y
e mostre que a integral da função de Heaviside é a função de Green para a o operador derivada segunda:
d^2d x^2 integrala^b G(x-y) f(y) d y=f(x)
Mostre que o Laplaciano em duas dimensões, i.e.,
nabla^2=partial^2partial x1^2+partial^2partial x2^2
atuando sobre ln sigma(x, y) é zero para todo x neq y, i.e.,
nabla^2 ln sigma(x, y)=0
Podemos regularizar a função ln sigma(x, y) usando o parâmetro varepsilon>0, i.e,
Gvarepsilon(x, y)=12 pi ln raiz(x1-y1)^2+(x2-y2)^2+varepsilon^2
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,
integralR^2 nabla^2 Gvarepsilon(x, y) d^2 x=1