Se f(x, y, z) = x * y^2 * z^3 + arcsen(x * raiz(z)), determine fxyz. [Dica: Qual ordem de diferenciação é a mais fácil?]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e a missão é encontrar a derivada parcial mista . Isso significa que vamos derivar a função primeiro em relação a , depois em relação a e, por fim, em relação a . Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções multivariáveis e a cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos começar derivando em relação a . A função tem duas partes: e .
  • Derivando a primeira parte em relação a :
  • Agora, derivando em relação a :
    Lembrando que a derivada de em relação a é , e aplicando a regra da cadeia:
Então, a primeira derivada em relação a fica:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Observando a expressão:
A segunda parte não depende de , então sua derivada em relação a será zero. Focamos na primeira parte:
Portanto,

Passo 4

Por fim, vamos derivar em relação a :
Derivando em relação a :
Então,

Resposta

A derivada parcial mista é .

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