Se
, determine
. [Dica: Qual ordem de diferenciação é a mais fácil?]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e a missão é encontrar a derivada parcial mista
. Isso significa que vamos derivar a função primeiro em relação a
, depois em relação a
e, por fim, em relação a
. Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções multivariáveis e a cadeia para funções compostas.
Passo 2
Vamos começar derivando
em relação a
. A função tem duas partes:
e
.
-
Derivando a primeira parte
em relação a : -
Agora, derivando
em relação a : Lembrando que a derivada deem relação a é , e aplicando a regra da cadeia:
Então, a primeira derivada em relação a
fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Observando a expressão:
A segunda parte não depende de
, então sua derivada em relação a
será zero. Focamos na primeira parte:
Portanto,
Passo 4
Por fim, vamos derivar
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Então,
Resposta
A derivada parcial mista
é
.
Exercícios relacionados
Escreva a função de Green em termos da distância
.
Calcule a integral da função de Heaviside, i.e,
e mostre que a integral da função de Heaviside é a função de Green para a o operador derivada segunda:
Mostre que o Laplaciano em duas dimensões, i.e.,
atuando sobre
é zero para todo
, i.e.,
Podemos regularizar a função
usando o parâmetro
, i.e,
Mostre que a integral do Laplaciano da função regularizada é um, i.e,