Calcule a média e o valor esperado das potências pares de x, i.e,
lang<= x^2 nrang<==integral-infty^infty x^2 n psigma(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a média e o valor esperado das potências pares de , ou seja, . Isso envolve entender um pouco de Estatística, mais especificamente sobre valores esperados e médias de distribuições de probabilidade. Para resolver, vamos precisar saber qual é a função de densidade de probabilidade que estamos lidando. Geralmente, representa uma distribuição normal com desvio padrão , mas vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. O valor esperado de uma função lang<= g(x) rang<= = integral-infty^infty g(x) psigma(x) , dx é dado por:
lang<= x^2n rang<= = integral-infty^infty x^2n psigma(x) , dx
No nosso caso, . Então, o valor esperado que queremos calcular é:

Passo 3

Agora, vamos assumir que psigma(x) = 1sigma raiz2pi e^-x^22sigma^2 é a função de densidade da distribuição normal, que é:
Essa função é simétrica em torno de zero, o que é importante para as potências pares de .

Passo 4

Com a função de densidade definida, vamos substituir na integral:
lang<= x^2n rang<= = integral-infty^infty x^2n 1sigma raiz2pi e^-x^22sigma^2 , dx
Essa integral é conhecida e está relacionada aos momentos da distribuição normal.

Passo 5

Para resolver essa integral, usamos a propriedade dos momentos da distribuição normal. O n-ésimo momento central de uma variável normal é dado por:
lang<= x^2n rang<= = sigma^2n (2n)!n! 2^n
Isso significa que conseguimos expressar o valor esperado das potências pares de em termos do desvio padrão e fatorial de .

Resposta

Portanto, o valor esperado das potências pares de lang<= x^2n rang<= = sigma^2n (2n)!n! , 2^n é:

Exercícios relacionados

Calcule a média e o valor esperado das potências impares de x, i.e,
lang<= x^2 n+1rang<==integral-infty^infty x^2 n+1 psigma(x) d x
Mostre que a distribuição é normalizada, i.e,
integral-infty^infty psigma(x) d x=1
Mostre que podemos reescrever as expressões acima usando a função de Heaviside theta(x), i.e,
theta(x) = { 0, x < 0; 1, x ≥ 0 }
Ou seja, a função de Heaviside é a função de Green para a derivada.
Calcule a integral da função de Heaviside, i.e,
G(x) equiv integrala^x theta(y) d y
e mostre que a integral da função de Heaviside é a função de Green para a o operador derivada segunda:
d^2d x^2 integrala^b G(x-y) f(y) d y=f(x)