Calcule a média e o valor esperado das potências pares de
, i.e,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a média e o valor esperado das potências pares de
, ou seja,
. Isso envolve entender um pouco de Estatística, mais especificamente sobre valores esperados e médias de distribuições de probabilidade. Para resolver, vamos precisar saber qual é a função de densidade de probabilidade
que estamos lidando. Geralmente,
representa uma distribuição normal com desvio padrão
, mas vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o valor esperado. O valor esperado de uma função
é dado por:
No nosso caso,
. Então, o valor esperado que queremos calcular é:
Passo 3
Agora, vamos assumir que
é a função de densidade da distribuição normal, que é:
Essa função é simétrica em torno de zero, o que é importante para as potências pares de
.
Passo 4
Com a função de densidade definida, vamos substituir na integral:
Essa integral é conhecida e está relacionada aos momentos da distribuição normal.
Passo 5
Para resolver essa integral, usamos a propriedade dos momentos da distribuição normal. O n-ésimo momento central de uma variável normal é dado por:
Isso significa que conseguimos expressar o valor esperado das potências pares de
em termos do desvio padrão
e fatorial de
.
Resposta
Portanto, o valor esperado das potências pares de
é:
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Calcule a média e o valor esperado das potências impares de
, i.e,
Mostre que a distribuição é normalizada, i.e,
Mostre que podemos reescrever as expressões acima usando a função de Heaviside
, i.e,
Ou seja, a função de Heaviside é a função de Green para a derivada.
Calcule a integral da função de Heaviside, i.e,
e mostre que a integral da função de Heaviside é a função de Green para a o operador derivada segunda: