Calcule a integral indefinida de 14 x raizx^2-16.

Passo 1

Então, a gente tem para resolver a integral indefinida de 14x raizx^2-16. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, mais especificamente sobre integração por substituição. Vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar o 1/4 para facilitar:
integral 14x raizx^2-16 , dx = 14 integral 1x raizx^2-16 , dx

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar u = x^2 - 16. Assim, precisamos encontrar du em termos de dx:
u = x^2 - 16 du = 2x , dx Rightarrow du2 = x , dx
Isolando x , dx, temos du2 = x , dx.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
14 integral 1x raizu cdot du2x = 14 cdot 12 integral 1x^2 raizu , du
Mas como u = x^2 - 16, podemos reescrever x^2 = u + 16. Substituindo isso na integral:
18 integral 1(u + 16) raizu , du
Essa integral pode ser resolvida separando os termos:
18 integral ( 1u raizu + 16u raizu ) , du = 18 integral u^-3/2 + 16u^-3/2 , du

Passo 5

Integrando cada termo:
18 ( integral u^-3/2 , du + 16 integral u^-3/2 , du ) = 18 ( -2u^-1/2 - 32u^-1/2 )
Simplificando:
18 ( -34u^-1/2 ) = -348 cdot 1raizu = -174raizu

Passo 6

Voltando à variável original x, onde u = x^2 - 16, temos:
-174raizx^2-16 + C

Resposta

A integral indefinida é -dfrac174, raizx^2 - 16 + C.

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