Calcule o volume do sólido acima do paraboloide e abaixo do cone .

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido que está acima do paraboloide e abaixo do cone . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que as equações envolvem .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o cone se interceptam. Igualando as duas equações:
Vamos chamar . Substituindo, temos:
Então, ou . Isso significa que a interseção ocorre quando .

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla em coordenadas polares. Em coordenadas polares, e , e a área diferencial é .
As funções dadas ficam:
O volume entre essas superfícies é dado por:
Substituindo:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 5

Agora, resolvemos a integral externa em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule , onde é limitado pelos planos e .
Calcule a integral indefinida de .
a) Calcule a potência acústica associada a cada pulso emitido.
b) Calcule a energia acústica associada a cada pulso.
c) Considere que no tempo de 0,01 s após a emissão um pulso atinge um inseto. Calcule a distância que o inseto está em relação ao morcego.
d) Supondo que a área efetiva do inseto seja de aproximadamente calcule quanto da potência emitida pelo morcego é interceptada pelo inseto.
e) Qual é a intensidade do eco recebido (de volta) pelo morcego?
f) Calcule a altura do som ouvido pelo morcego devido ao eco.
Expresse como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras. é limitada pelas retas