Calcule o volume do sólido acima do paraboloide z=x^2+y^2 e abaixo do cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido que está acima do paraboloide e abaixo do cone . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que as equações envolvem .

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o cone se interceptam. Igualando as duas equações:
x^2 + y^2 = raizx^2 + y^2
Vamos chamar r^2 = r implies r^2 - r = 0 implies r(r - 1) = 0 . Substituindo, temos:
Então, ou . Isso significa que a interseção ocorre quando .

Passo 3

Agora, configuramos a integral dupla em coordenadas polares. Em coordenadas polares, zcone = r e zparaboloide = r^2 e V = integral0^2pi integral0^1 (zcone - zparaboloide) , r , dr , dtheta , e a área diferencial é V = integral0^2pi integral0^1 (r - r^2) , r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^1 (r^2 - r^3) , dr , dtheta .
As funções dadas ficam:
O volume entre essas superfícies é dado por:
Substituindo:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna em relação a integral0^1 (r^2 - r^3) , dr = [ r^33 - r^44 ]0^1 = ( 13 - 14 ) - (0 - 0) = 112 :

Passo 5

Agora, resolvemos a integral externa em relação a V = integral0^2pi 112 , dtheta = 112 times 2pi = pi6 :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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