Calcule o volume do sólido acima do paraboloide
e abaixo do cone
.
Passo 1
Vamos calcular o volume do sólido que está acima do paraboloide
e abaixo do cone
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que as equações envolvem
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o cone se interceptam. Igualando as duas equações:
Vamos chamar
. Substituindo, temos:
Então,
ou
. Isso significa que a interseção ocorre quando
.
Passo 3
Agora, configuramos a integral dupla em coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, e a área diferencial é
.
As funções dadas ficam:
O volume entre essas superfícies é dado por:
Substituindo:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é limitado pelos planos
e
.
Calcule a integral indefinida de
.
a) Calcule a potência acústica associada a cada pulso emitido.
b) Calcule a energia acústica associada a cada pulso.
c) Considere que no tempo de 0,01 s após a emissão um pulso atinge um inseto. Calcule a distância que o inseto está em relação ao morcego.
d) Supondo que a área efetiva do inseto seja de aproximadamente calcule quanto da potência emitida pelo morcego é interceptada pelo inseto.
e) Qual é a intensidade do eco recebido (de volta) pelo morcego?
f) Calcule a altura do som ouvido pelo morcego devido ao eco.
b) Calcule a energia acústica associada a cada pulso.
c) Considere que no tempo de 0,01 s após a emissão um pulso atinge um inseto. Calcule a distância que o inseto está em relação ao morcego.
d) Supondo que a área efetiva do inseto seja de aproximadamente
e) Qual é a intensidade do eco recebido (de volta) pelo morcego?
f) Calcule a altura do som ouvido pelo morcego devido ao eco.
Expresse
como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.
é limitada pelas retas