Calcule o volume do sólido acima do paraboloide
e abaixo do cone
.
Passo 1
Vamos calcular o volume do sólido que está acima do paraboloide
e abaixo do cone
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, mais especificamente integrais duplas em coordenadas polares, já que as equações envolvem
.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar onde o paraboloide e o cone se interceptam. Igualando as duas equações:
Vamos chamar
. Substituindo, temos:
Então,
ou
. Isso significa que a interseção ocorre quando
.
Passo 3
Agora, configuramos a integral dupla em coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
, e a área diferencial é
.
As funções dadas ficam:
O volume entre essas superfícies é dado por:
Substituindo:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 5
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.