Calcule , onde é limitado pelos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla , onde a região é limitada pelos planos , , e . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente nas integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar definir bem os limites de integração para as variáveis , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região . Ela é delimitada pelos planos coordenados , , e pelo plano inclinado . Vamos resolver essa última equação para para facilitar:
Isso nos mostra que, para cada ponto na base, o valor de vai de até .

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde o plano intercepta os eixos para definir os limites de e .
  • Interseção com o eixo : Quando e , temos então .
  • Interseção com o eixo : Quando e , temos então .
  • Interseção com o eixo : Quando e , temos .
Então, varia de a , e para cada , varia de até (isto é, resolvendo para ).

Passo 4

Com esses limites, a integral tripla fica organizada assim:

Passo 5

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a :

Passo 6

Agora, a integral fica:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:

Passo 7

Integrando em relação a :

Passo 8

Substituindo na expressão:

Passo 9

Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Expande
  2. Expande
  3. Substitui de volta e simplifica todas as parcelas.
Após os cálculos, ficamos com:

Passo 10

Agora, a integral em relação a é:
Integrando cada termo:

Passo 11

Substituindo :
Substituindo , todos os termos ficam .
Então:

Resposta

O valor da integral tripla é igual a .

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b) Calcule a energia acústica associada a cada pulso.
c) Considere que no tempo de 0,01 s após a emissão um pulso atinge um inseto. Calcule a distância que o inseto está em relação ao morcego.
d) Supondo que a área efetiva do inseto seja de aproximadamente calcule quanto da potência emitida pelo morcego é interceptada pelo inseto.
e) Qual é a intensidade do eco recebido (de volta) pelo morcego?
f) Calcule a altura do som ouvido pelo morcego devido ao eco.