Calcule
, onde
é limitado pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla
, onde a região
é limitada pelos planos
,
,
e
. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente nas integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar definir bem os limites de integração para as variáveis
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem a região
. Ela é delimitada pelos planos coordenados
,
,
e pelo plano inclinado
. Vamos resolver essa última equação para
para facilitar:
Isso nos mostra que, para cada ponto
na base, o valor de
vai de
até
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde o plano
intercepta os eixos para definir os limites de
e
.
- Interseção com o eixo
: Quando e , temos então . - Interseção com o eixo
: Quando e , temos então . - Interseção com o eixo
: Quando e , temos .
Então,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
até
(isto é, resolvendo
para
).
Passo 4
Com esses limites, a integral tripla fica organizada assim:
Passo 5
Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 7
Integrando em relação a
:
Passo 8
Substituindo
na expressão:
Passo 9
Vamos simplificar isso passo a passo:
- Expande
- Expande
- Substitui de volta e simplifica todas as parcelas.
Após os cálculos, ficamos com:
Passo 10
Agora, a integral em relação a
é:
Integrando cada termo:
Passo 11
Substituindo
:
Substituindo
, todos os termos ficam
.
Então:
Resposta
O valor da integral tripla
é igual a
.