Calcule integral triplaE y d V, onde E é limitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2 x+2 y+z=4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE y , dV, onde a região E é limitada pelos planos x=0, y=0, z=0 e 2x + 2y + z = 4. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente nas integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar definir bem os limites de integração para as variáveis x, y e z.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região E. Ela é delimitada pelos planos coordenados x=0, y=0, z=0 e pelo plano inclinado 2x + 2y + z = 4. Vamos resolver essa última equação para z para facilitar:
z = 4 - 2x - 2y
Isso nos mostra que, para cada ponto (x, y) na base, o valor de z vai de 0 até 4 - 2x - 2y.

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde o plano 2x + 2y + z = 4 intercepta os eixos para definir os limites de x e y.
  • Interseção com o eixo x: Quando y=0 e z=0, temos 2x = 4 então x=2.
  • Interseção com o eixo y: Quando x=0 e z=0, temos 2y = 4 então y=2.
  • Interseção com o eixo z: Quando x=0 e y=0, temos z=4.
Então, x varia de 0 a 2, e para cada x, y varia de 0 até 2 - x (isto é, resolvendo 2x + 2y = 4 para y).

Passo 4

Com esses limites, a integral tripla fica organizada assim:
integral triplaE y , dV = integral0^2 integral0^2 - x integral0^4 - 2x - 2y y , dz , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver a integral mais interna, que é em relação a z:
integral0^4 - 2x - 2y y , dz = y cdot [ z ]0^4 - 2x - 2y = y (4 - 2x - 2y)

Passo 6

Agora, a integral fica:
integral0^2 integral0^2 - x y (4 - 2x - 2y) , dy , dx
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
y cdot 4 - y cdot 2x - y cdot 2y = 4y - 2xy - 2y^2

Passo 7

Integrando em relação a y:
integral0^2 - x (4y - 2xy - 2y^2) , dy = [ 2y^2 - x y^2 - 23 y^3 ]0^2 - x

Passo 8

Substituindo y = 2 - x na expressão:
2(2 - x)^2 - x(2 - x)^2 - 23(2 - x)^3

Passo 9

Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Expande (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2
  2. Expande (2 - x)^3 = 8 - 12x + 6x^2 - x^3
  3. Substitui de volta e simplifica todas as parcelas.
Após os cálculos, ficamos com:
8 - 12x + 6x^2 - x^33

Passo 10

Agora, a integral em relação a x é:
13 integral0^2 (8 - 12x + 6x^2 - x^3) , dx
Integrando cada termo:
13 [ 8x - 6x^2 + 2x^3 - 14x^4 ]0^2

Passo 11

Substituindo x = 2:
8(2) - 6(2)^2 + 2(2)^3 - 14(2)^4 = 16 - 24 + 16 - 4 = 4
Substituindo x = 0, todos os termos ficam 0.
Então:
13 (4 - 0) = 43

Resposta

O valor da integral tripla integral triplaE y , dV é igual a dfrac43.

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