Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência? integral x^2 ln (1+x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida usando uma série de potências e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar entender como expandir em série de potências e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função ln(1+x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn, para |x| < 1 pode ser expandida em uma série de potências usando a série de Taylor:
Isso significa que podemos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essa série por x^2 ln(1+x) = x^2 sumn=1^infty (-1)^n+1 x^nn = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n+2n :
Isso simplifica a expressão para uma série de potências que podemos integrar termo a termo.

Passo 4

Em seguida, vamos integrar a série termo a termo:
integral x^2 ln(1+x) , dx = integral sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n+2n , dx = sumn=1^infty (-1)^n+1 1n integral x^n+2 , dx
A regra de integração de séries permite que integremos cada termo individualmente dentro do intervalo de convergência.

Passo 5

Calculando a integral de cada termo:
integral x^n+2 , dx = x^n+3n+3 + C
Portanto, a série integrada fica:
sumn=1^infty (-1)^n+1 1n cdot x^n+3n+3 + C = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n+3n(n+3) + C

Passo 6

Para encontrar o raio de convergência dessa série, analisamos a série original de , que converge para . Como multiplicamos por e integramos termo a termo sem alterar o intervalo de convergência, o raio de convergência continua sendo 1.

Resposta

A integral indefinida é dada por
integral x^2 ln(1+x) , dx = sumn=1^infty (-1)^n+1 x^n+3n(n+3) + C
e o raio de convergência dessa série é 1.

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