Calcule a integral indefinida como uma série de potências. Qual é o raio de convergência?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando uma série de potências e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos precisar entender como expandir
em série de potências e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
pode ser expandida em uma série de potências usando a série de Taylor:
Isso significa que podemos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar essa série por
:
Isso simplifica a expressão para uma série de potências que podemos integrar termo a termo.
Passo 4
Em seguida, vamos integrar a série termo a termo:
A regra de integração de séries permite que integremos cada termo individualmente dentro do intervalo de convergência.
Passo 5
Calculando a integral de cada termo:
Portanto, a série integrada fica:
Passo 6
Para encontrar o raio de convergência dessa série, analisamos a série original de
, que converge para
. Como multiplicamos por
e integramos termo a termo sem alterar o intervalo de convergência, o raio de convergência continua sendo 1.
Resposta
A integral indefinida é dada por
e o raio de convergência dessa série é 1.