Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando sua resposta © A equação d y/d x = x y/(x^2 - y^2) é uma EDO homogênea de grau 2 .

Passo 1

Vamos resumir o problema: precisamos verificar se a equação diferencial é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea de grau 2. Para isso, vamos entender o que significa uma EDO ser homogênea e de qual grau ela é.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma EDO homogênea. Uma EDO é considerada homogênea se todas as suas funções são homogêneas do mesmo grau. Uma função f(x, y) é homogênea de grau n se, ao multiplicarmos x e y por uma constante k, a função resulta em vezes a função original, ou seja, .

Passo 3

Vamos aplicar isso à equação dada. A equação é:
Aqui, o numerador x y é uma função homogênea de grau 2, já que .
No denominador, também é uma função homogênea de grau 2, já que .

Passo 4

Como tanto o numerador quanto o denominador são funções homogêneas de grau 2, a razão também será homogênea de grau 0 (grau 2 - grau 2 = 0).

Resposta

Falso. A equação é uma EDO homogênea, mas da homogeneidade de grau 0, não de grau 2.

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