Cálcule a integral interpretando-a em termos de áreas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
interpretando-a em termos de áreas. Isso significa que vamos encontrar a área entre o gráfico da função
e o eixo
, entre os pontos
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente a área de triângulos e trapezoides, já que a função
é uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o gráfico da função
. Essa é uma reta com inclinação
e intercepto em
. Quando
,
. Quando
,
. Então, a reta cruza o eixo
quando
:
Isso significa que entre
e
, a função está acima do eixo
, e entre
e
, está abaixo.
Passo 3
Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar o cálculo das áreas:
- De
a , onde . - De
a , onde .
Vamos calcular cada uma dessas áreas separadamente e depois somá-las, lembrando que a área abaixo do eixo
será negativa.
Passo 4
Primeira Parte:
a
Aqui, a função forma um triângulo com a base indo de
a
(comprimento de
unidades) e a altura até
.
A área do triângulo é dada por:
Passo 5
Segunda Parte:
a
Nesta parte, a função está abaixo do eixo
, formando um triângulo com a base de
unidade (de
a
) e a altura até
.
A área desse triângulo é:
Como está abaixo do eixo
, consideramos essa área como negativa:
Passo 6
Agora, vamos somar as duas áreas:
Resposta
A integral
interpretada em termos de áreas é igual a
.
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A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(g) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por . Em que instantes de tempo, as partículas se encontram?
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Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
Se fé uma função diferenciável de x e y, então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor
e
Se o vetor unitário
faz um ângulo
com o eixo
positivo, então podemos escrever
e a fórmula fica:
Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade
módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de
com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de
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(e) Encontre a velocidade do tanque em relação à bala quando a mesma atingir o carro.
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