Cálcule a integral interpretando-a em termos de áreas.
integral-1^3(2-x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral interpretando-a em termos de áreas. Isso significa que vamos encontrar a área entre o gráfico da função e o eixo , entre os pontos e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria, especificamente a área de triângulos e trapezoides, já que a função é uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o gráfico da função 2 - x = 0 implies x = 2 . Essa é uma reta com inclinação e intercepto em . Quando , . Quando , . Então, a reta cruza o eixo quando :
Isso significa que entre e , a função está acima do eixo , e entre e , está abaixo.

Passo 3

Agora, vamos dividir a integral em duas partes para facilitar o cálculo das áreas:
  1. De a , onde .
  2. De a , onde .
Vamos calcular cada uma dessas áreas separadamente e depois somá-las, lembrando que a área abaixo do eixo será negativa.

Passo 4

Primeira Parte: A1 = 12 times base times a a
Aqui, a função forma um triângulo com a base indo de a (comprimento de unidades) e a altura até .
A área do triângulo é dada por:

Passo 5

Segunda Parte: A2 = 12 times base times a a A2 = -12
Nesta parte, a função está abaixo do eixo , formando um triângulo com a base de unidade (de a ) e a altura até .
A área desse triângulo é:
Como está abaixo do eixo , consideramos essa área como negativa:

Passo 6

Agora, vamos somar as duas áreas:
Área Total = A1 + A2 = 92 - 12 = 82 = 4 Á

Resposta

A integral interpretada em termos de áreas é igual a .

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integral-1^1(t^3-t^2+1) d t
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