A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(g) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por
. Em que instantes de tempo, as partículas se encontram?
(g) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas partículas que estão se mexendo em uma linha reta. A primeira partícula começa na posição 0,125 com uma velocidade inicial de 0,5 e tem uma aceleração que muda com o tempo, dada por
. A segunda partícula tem sua posição já descrita por uma função do tempo:
. Queremos descobrir em que instantes essas duas partículas estão na mesma posição, ou seja, quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a posição da primeira partícula (
) em função do tempo. Sabemos que a aceleração
é a derivada da velocidade
, então para achar
, a gente integra
:
Aqui,
é a constante de integração. Como sabemos que a velocidade inicial
, substituímos para achar
:
Então, a velocidade da primeira partícula é:
Passo 3
Agora, vamos integrar a velocidade para achar a posição
:
Onde
é outra constante de integração. Sabemos que na posição inicial (
),
. Substituindo:
Portanto, a posição da primeira partícula é:
Passo 4
Agora que temos as duas posições
e
, vamos igualá-las para encontrar os instantes em que as partículas se encontram:
Simplificando a equação:
Agora, vamos isolar os termos com
:
Passo 5
Para resolver
, precisamos achar os valores de
que satisfazem essa equação. Vamos usar a função arco cosseno (
):
Portanto, isolando
:
Resposta
As partículas se encontram nos instantes de tempo dados por
onde
é qualquer número inteiro.
Exercícios relacionados
Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(d) Qual o sentido do movimento da partícula quando ?
(d) Qual o sentido do movimento da partícula quando
Cálcule a integral interpretando-a em termos de áreas.
Se fé uma função diferenciável de x e y, então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor
e
Se o vetor unitário
faz um ângulo
com o eixo
positivo, então podemos escrever
e a fórmula fica: