A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(g) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por s(t) = t^3/6 + t/2 - 9/8 cos(4t). Em que instantes de tempo, as partículas se encontram?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre duas partículas que estão se mexendo em uma linha reta. A primeira partícula começa na posição 0,125 com uma velocidade inicial de 0,5 e tem uma aceleração que muda com o tempo, dada por . A segunda partícula tem sua posição já descrita por uma função do tempo: . Queremos descobrir em que instantes essas duas partículas estão na mesma posição, ou seja, quando .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a posição da primeira partícula ( ) em função do tempo. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade , então para achar , a gente integra :
Aqui, é a constante de integração. Como sabemos que a velocidade inicial , substituímos para achar :
Então, a velocidade da primeira partícula é:

Passo 3

Agora, vamos integrar a velocidade para achar a posição :
Onde é outra constante de integração. Sabemos que na posição inicial ( ), . Substituindo:
Portanto, a posição da primeira partícula é:

Passo 4

Agora que temos as duas posições e , vamos igualá-las para encontrar os instantes em que as partículas se encontram:
Simplificando a equação:
Agora, vamos isolar os termos com :

Passo 5

Para resolver , precisamos achar os valores de que satisfazem essa equação. Vamos usar a função arco cosseno ( ):
Portanto, isolando :

Resposta

As partículas se encontram nos instantes de tempo dados por
onde é qualquer número inteiro.

Exercícios relacionados

Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral-1^1(t^3-t^2+1) d t
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(d) Qual o sentido do movimento da partícula quando t = 0 ?
Cálcule a integral interpretando-a em termos de áreas.
integral-1^3(2-x) d x
Se fé uma função diferenciável de x e y, então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor u = <a, b> e
D_u f(x, y) = f_x(x, y) a + f_y(x, y) b
Se o vetor unitário u faz um ângulo theta com o eixo x positivo, então podemos escrever u = <cos(θ), sen(θ)> e a fórmula fica:
D_{u} f(x, y) = f_{x}(x, y) cos(θ) + f_{y}(x, y) sen(θ)