Se fé uma função diferenciável de x e y, então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor u = <a, b> e
D_u f(x, y) = f_x(x, y) a + f_y(x, y) b
Se o vetor unitário u faz um ângulo theta com o eixo x positivo, então podemos escrever u = <cos(θ), sen(θ)> e a fórmula fica:
D_{u} f(x, y) = f_{x}(x, y) cos(θ) + f_{y}(x, y) sen(θ)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de e e que é diferenciável. Queremos mostrar que tem uma derivada direcional em qualquer direção dada por um vetor . Além disso, vamos aplicar isso para um vetor unitário que faz um ângulo com o eixo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas direcionais, derivadas parciais e como trabalhar com vetores e ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. A derivada direcional de na direção do vetor nos diz como está mudando à medida que nos movemos nessa direção. Se é diferenciável, sabemos que ela tem derivadas parciais em e , que são e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor . Para que seja uma direção válida, ele pode ter qualquer comprimento, mas geralmente trabalhamos com vetores unitários para simplificar os cálculos. A derivada direcional pode ser expressa em termos das derivadas parciais multiplicadas pelas componentes do vetor:
Isso significa que estamos combinando as taxas de mudança de em e de acordo com a direção do vetor .

Passo 4

Agora, vamos considerar que o vetor é unitário e faz um ângulo com o eixo positivo. Um vetor unitário nessa direção pode ser escrito como:
Aqui, e são as projeções do vetor nas direções e , respectivamente.

Passo 5

Substituindo e na expressão da derivada direcional, temos:
Isso mostra como a derivada direcional se relaciona com o ângulo que o vetor faz com o eixo .

Resposta

Portanto, para uma função diferenciável , a derivada direcional na direção de um vetor unitário que faz um ângulo com o eixo é dada por:

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Cálcule a integral interpretando-a em termos de áreas.
integral-1^3(2-x) d x
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(e) Encontre a velocidade do tanque em relação à bala quando a mesma atingir o carro.
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