Se fé uma função diferenciável de x e y, então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor
e
Se o vetor unitário
faz um ângulo
com o eixo
positivo, então podemos escrever
e a fórmula fica:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que depende de
e
e que é diferenciável. Queremos mostrar que
tem uma derivada direcional em qualquer direção dada por um vetor
. Além disso, vamos aplicar isso para um vetor unitário que faz um ângulo
com o eixo
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são derivadas direcionais, derivadas parciais e como trabalhar com vetores e ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada direcional. A derivada direcional de
na direção do vetor
nos diz como
está mudando à medida que nos movemos nessa direção. Se
é diferenciável, sabemos que ela tem derivadas parciais em
e
, que são
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos considerar o vetor
. Para que
seja uma direção válida, ele pode ter qualquer comprimento, mas geralmente trabalhamos com vetores unitários para simplificar os cálculos. A derivada direcional
pode ser expressa em termos das derivadas parciais multiplicadas pelas componentes do vetor:
Isso significa que estamos combinando as taxas de mudança de
em
e
de acordo com a direção do vetor
.
Passo 4
Agora, vamos considerar que o vetor
é unitário e faz um ângulo
com o eixo
positivo. Um vetor unitário nessa direção pode ser escrito como:
Aqui,
e são as projeções do vetor nas direções
e
, respectivamente.
Passo 5
Substituindo
e na expressão da derivada direcional, temos:
Isso mostra como a derivada direcional se relaciona com o ângulo
que o vetor
faz com o eixo
.
Resposta
Portanto, para uma função diferenciável
, a derivada direcional na direção de um vetor unitário que faz um ângulo
com o eixo
é dada por:
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.
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(e) Encontre a velocidade do tanque em relação à bala quando a mesma atingir o carro.
Se
e
, encontre
.