Calcule a integral iterada de f(x, y) = x * e^(y) para R = {(x, y) | 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1}

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla da função sobre a região onde e . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, fazendo isso em etapas: primeiro em relação a uma variável e depois à outra.

Passo 2

Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como as limita para e são de 0 a 1, podemos escrever:
Isso significa que vamos integrar primeiro em relação a , mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . Lembre-se que, ao integrar em relação a , é uma constante. Então, a integral fica:
Como é constante em relação a , podemos trazê-lo para fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de é:
Avaliada de 0 a 1:
Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
A integral de em relação a é , então:

Resposta

A integral dupla vale .

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