Calcule a integral iterada de
para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla da função
sobre a região
onde
e
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente de integrais iteradas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, fazendo isso em etapas: primeiro em relação a uma variável e depois à outra.
Passo 2
Primeiro, vamos configurar a integral dupla. Como as limita para
e
são de 0 a 1, podemos escrever:
Isso significa que vamos integrar
primeiro em relação a
, mantendo
constante, e depois integrar o resultado em relação a
.
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Lembre-se que, ao integrar em relação a
,
é uma constante. Então, a integral fica:
Como
é constante em relação a
, podemos trazê-lo para fora da integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar
em relação a
. A integral de
é:
Avaliada de 0 a 1:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Resposta
A integral dupla vale
.
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Se
e
está no quarto quadrante, encontre
.
Calcule a integral
transformando para coordenadas polares, onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.