Calcule a integral
transformando para coordenadas polares, onde
é a região limitada pelo semicírculo
e o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla
, onde
é a região limitada pelo semicírculo
e pelo eixo
. O conteúdo aqui envolve integrais duplas e a transformação para coordenadas polares, que facilita bastante quando trabalhamos com regiões circulares ou semicirculares. Vamos precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração conforme a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. A equação
representa a metade direita de um círculo de raio 2, centrado na origem. Juntando isso com o eixo
(onde
), a região
é um semicírculo à direita do eixo
, ou seja, onde
e
vai de
a
.
Passo 3
Agora, vamos transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por:
E a função
se transforma em:
Passo 4
Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como
é um semicírculo de raio 2 à direita do eixo
, temos:
- O raio
varia de 0 a 2. - O ângulo
varia de a para cobrir toda a metade direita do círculo.
Passo 5
Vamos montar a integral em coordenadas polares com os limites determinados:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna
. Para isso, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Calculando a integral de
:
Portanto:
Resposta
Exercícios relacionados
Se
e
está no quarto quadrante, encontre
.
Calcule a integral iterada de
para
Determine o domínio da função
.
Use coordenadas polares para calcular
. S:
.