Calcule a integral transformando para coordenadas polares, onde é a região limitada pelo semicírculo e o eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde é a região limitada pelo semicírculo e pelo eixo . O conteúdo aqui envolve integrais duplas e a transformação para coordenadas polares, que facilita bastante quando trabalhamos com regiões circulares ou semicirculares. Vamos precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração conforme a região .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A equação representa a metade direita de um círculo de raio 2, centrado na origem. Juntando isso com o eixo (onde ), a região é um semicírculo à direita do eixo , ou seja, onde e vai de a .

Passo 3

Agora, vamos transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por:
E a função se transforma em:

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como é um semicírculo de raio 2 à direita do eixo , temos:
  • O raio varia de 0 a 2.
  • O ângulo varia de a para cobrir toda a metade direita do círculo.

Passo 5

Vamos montar a integral em coordenadas polares com os limites determinados:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna . Para isso, fazemos uma substituição:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Calculando a integral de :
Portanto:

Resposta

Exercícios relacionados

Se e está no quarto quadrante, encontre .
Calcule a integral iterada de para
Determine o domínio da função .
Use coordenadas polares para calcular . S: .