Calcule a integral integral duplaR^ m e^(-x^2-y^2) d A transformando para coordenadas polares, onde R é a região limitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla , onde é a região limitada pelo semicírculo e pelo eixo . O conteúdo aqui envolve integrais duplas e a transformação para coordenadas polares, que facilita bastante quando trabalhamos com regiões circulares ou semicirculares. Vamos precisar entender como mudar as coordenadas cartesianas para polares e ajustar os limites de integração conforme a região .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . A equação representa a metade direita de um círculo de raio 2, centrado na origem. Juntando isso com o eixo (onde ), a região é um semicírculo à direita do eixo , ou seja, onde e vai de a .

Passo 3

Agora, vamos transformar a integral de coordenadas cartesianas para polares. Lembrando que em coordenadas polares, temos:
x = r cos(theta) e y = r sin(theta)
Além disso, o elemento de área dA = r , dr , dtheta em coordenadas polares é dado por:
e^-r^2
E a função se transforma em:

Passo 4

Precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como é um semicírculo de raio 2 à direita do eixo , temos:
  • O raio varia de 0 a 2.
  • O ângulo varia de a para cobrir toda a metade direita do círculo.

Passo 5

Vamos montar a integral em coordenadas polares com os limites determinados:
integral duplaR e^-x^2-y^2 , dA = integral-pi2^pi2 integral0^2 e^-r^2 cdot r , dr , dtheta
Simplificando a expressão:
integral-pi2^pi2 ( integral0^2 r e^-r^2 , dr ) dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna u = -r^2 Rightarrow du = -2r , dr Rightarrow -12 du = r , dr . Para isso, fazemos uma substituição:
integral0^2 r e^-r^2 , dr = -12 integral0^2 e^u , du = -12 [ e^u ]0^-4 = -12 ( e^-4 - e^0 ) = 12 (1 - e^-4)
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral-pi2^pi2 12 (1 - e^-4) , dtheta = 12 (1 - e^-4) integral-pi2^pi2 dtheta
Calculando a integral de integral-pi2^pi2 dtheta = pi :
12 (1 - e^-4) cdot pi = pi2 (1 - e^-4)
Portanto:

Resposta

integral duplaR e^-x^2-y^2 , dA = pi2 (1 - e^-4)

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