(4,0) Desenvolva a série de Taylor da função na vizinhança do 0 e determine para quais valores essa série converge.
Passo 1
Então, a gente tem que desenvolver a série de Taylor da função perto de . Isso significa que vamos escrever como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função em . Para fazer isso, vamos usar a fórmula da série de Taylor e entender como calcular os termos dessa série. Também precisamos descobrir para quais valores de essa série funciona, ou seja, onde ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série de Taylor para uma função em torno de um ponto :
Aqui, é a -ésima derivada de avaliada em , e é o fatorial de . No nosso caso, , então a fórmula fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :
Como todas as derivadas de são , temos que:
Passo 4
Substituindo os valores das derivadas na fórmula da série de Taylor, temos:
Ou seja:
Passo 5
Para determinar para quais valores de essa série converge, usamos o Teste da Razão. Vamos calcular o limite:
Como o limite é , que é menor que , a série converge para todo .