Calcule
, onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é a esfera de raio 1 no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender conceitos de simetria em integrais múltiplas e como certas funções se comportam em regiões simétricas como a esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que vamos integrar:
. Note que essa função é um produto de
e
, que são funções ímpares, ou seja, se você trocar
por
ou
por
, a função muda de sinal.
Passo 3
Agora, observe a região
que é uma esfera centrada na origem, ou seja, ela é simétrica em relação aos eixos
,
e
. Isso significa que para cada ponto
dentro de
, o ponto
,
, e assim por diante, também estão dentro de
.
Passo 4
Vamos pensar no comportamento da função
dentro dessa esfera. Para cada ponto
, existe um ponto correspondente
onde
muda de sinal, fazendo com que
mude de sinal também. O mesmo acontece com
.
Passo 5
Devido a essa simetria, as contribuições para a integral de
de pontos que são reflexos uns dos outros em relação aos eixos
ou
se anulam. Ou seja, cada valor positivo de
tem um correspondente valor negativo que cancela esse positivo.
Passo 6
Portanto, ao integrar
sobre toda a esfera
, as partes positivas e negativas se cancelam, resultando em zero.
Resposta
A integral tripla
é igual a 0.
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e utilizando o teste da derivada segunda, determine o tipo dos pontos críticos de
. (isto é, máx. local, mín. local ou nada)
Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
Calcule
, onde
e
é a curva representada pelo segmento orientado de
até
.
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