Calcule integral triplaB x y d x d y d z, onde B=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral tripla de sobre a região , que é a esfera de raio 1 no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender conceitos de simetria em integrais múltiplas e como certas funções se comportam em regiões simétricas como a esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que vamos integrar: . Note que essa função é um produto de e , que são funções ímpares, ou seja, se você trocar por ou por , a função muda de sinal.

Passo 3

Agora, observe a região que é uma esfera centrada na origem, ou seja, ela é simétrica em relação aos eixos , e . Isso significa que para cada ponto dentro de , o ponto , , e assim por diante, também estão dentro de .

Passo 4

Vamos pensar no comportamento da função dentro dessa esfera. Para cada ponto , existe um ponto correspondente onde muda de sinal, fazendo com que mude de sinal também. O mesmo acontece com .

Passo 5

Devido a essa simetria, as contribuições para a integral de de pontos que são reflexos uns dos outros em relação aos eixos ou se anulam. Ou seja, cada valor positivo de tem um correspondente valor negativo que cancela esse positivo.

Passo 6

Portanto, ao integrar sobre toda a esfera , as partes positivas e negativas se cancelam, resultando em zero.

Resposta

A integral tripla é igual a 0.

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