Faça o estudo de concavidade da função para f(x) = x^3 - 2 x^2 + 2 e utilizando o teste da derivada segunda, determine o tipo dos pontos críticos de f(x). (isto é, máx. local, mín. local ou nada)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente estudar a concavidade da função . A gente vai usar o teste da segunda derivada, que é uma ferramenta da matéria de cálculo diferencial. Basicamente, vamos encontrar as derivadas da função para identificar onde ela tem máximos ou mínimos locais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e nos ajuda a encontrar os pontos críticos (onde a inclinação é zero).
A função é:
Calculando a primeira derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de onde a primeira derivada é igual a zero.
Resolvendo :
Então, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a concavidade da função usando a segunda derivada. A segunda derivada nos mostra se a função é côncava para cima ou para baixo, o que nos ajuda a classificar os pontos críticos como máximos ou mínimos locais.
Calculamos a segunda derivada:

Passo 5

Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados ( e ).
Para :
Como , a função é côncava para baixo nesse ponto, o que indica um máximo local.
Para :
Como , a função é côncava para cima nesse ponto, o que indica um mínimo local.

Resposta

A função tem um máximo local em e um mínimo local em .

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