Faça o estudo de concavidade da função para
e utilizando o teste da derivada segunda, determine o tipo dos pontos críticos de
. (isto é, máx. local, mín. local ou nada)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente estudar a concavidade da função
. A gente vai usar o teste da segunda derivada, que é uma ferramenta da matéria de cálculo diferencial. Basicamente, vamos encontrar as derivadas da função para identificar onde ela tem máximos ou mínimos locais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e nos ajuda a encontrar os pontos críticos (onde a inclinação é zero).
A função é:
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a primeira derivada é igual a zero.
Resolvendo
:
Então, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar a concavidade da função usando a segunda derivada. A segunda derivada nos mostra se a função é côncava para cima ou para baixo, o que nos ajuda a classificar os pontos críticos como máximos ou mínimos locais.
Calculamos a segunda derivada:
Passo 5
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos críticos encontrados (
e
).
Para
:
Como
, a função é côncava para baixo nesse ponto, o que indica um máximo local.
Para
:
Como
, a função é côncava para cima nesse ponto, o que indica um mínimo local.
Resposta
A função
tem um máximo local em
e um mínimo local em
.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
Calcule as integrais triplas:
, onde
é o conjunto
.
Calcule
, onde
.
Calcule
, onde
e
é a curva representada pelo segmento orientado de
até
.