Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
f(x) = x^3 - 2 x^2 - x - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos máximos e mínimos da função . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajuda a identificar esses pontos importantes na curva da função. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e é essencial para encontrar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os valores de onde a derivada é igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são onde a função pode ter um máximo ou mínimo.
Então, resolvemos a equação:

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
onde , e .
Substituindo os valores:
Simplificando a raiz:
Então, os valores de são:

Passo 5

Agora temos dois pontos críticos:
Para saber se cada um desses pontos é um máximo ou mínimo, vamos calcular a segunda derivada da função.

Passo 6

Calculando a segunda derivada de :
A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função. Se , a função está “sorrindo” e temos um mínimo local. Se , está “chorando” e temos um máximo local.

Passo 7

Vamos avaliar em cada ponto crítico:
Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo local.
Para :
Aqui, a segunda derivada é negativa, então é um ponto de máximo local.

Resposta

A função possui:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em

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Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
f(x) = x^2 + 2x - 1
Faça o estudo de concavidade da função para f(x) = x^3 - 2 x^2 + 2 e utilizando o teste da derivada segunda, determine o tipo dos pontos críticos de f(x). (isto é, máx. local, mín. local ou nada)
Calcule integral triplaB x y d x d y d z, onde B=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2 <= 1.