Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos máximos e mínimos da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente de derivadas, que nos ajuda a identificar esses pontos importantes na curva da função. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e descobrir onde ela é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e é essencial para encontrar os pontos onde a função atinge máximos ou mínimos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os valores de
onde a derivada
é igual a zero. Esses pontos são chamados de pontos críticos e são onde a função pode ter um máximo ou mínimo.
Então, resolvemos a equação:
Passo 4
Para resolver essa equação quadrática, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
onde
,
e
.
Substituindo os valores:
Simplificando a raiz:
Então, os valores de
são:
Passo 5
Agora temos dois pontos críticos:
Para saber se cada um desses pontos é um máximo ou mínimo, vamos calcular a segunda derivada da função.
Passo 6
Calculando a segunda derivada de
:
A segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade da função. Se
, a função está “sorrindo” e temos um mínimo local. Se
, está “chorando” e temos um máximo local.
Passo 7
Vamos avaliar
em cada ponto crítico:
Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo local.
Para
:
Aqui, a segunda derivada é negativa, então
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função
possui:
- Máximo local em
- Mínimo local em
Exercícios relacionados
Calcule as integrais triplas:
, onde
é o conjunto
.
Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
Faça o estudo de concavidade da função para
e utilizando o teste da derivada segunda, determine o tipo dos pontos críticos de
. (isto é, máx. local, mín. local ou nada)
Calcule
, onde
.