Em um determinado ponto de uma tubulação um fluído escoa com uma velocidade de 2 m / s. A tubulação percorre um caminho que leva a água para uma região situada 8 m abaixo deste ponto. Caso se deseje manter a pressão da água com o mesmo valor na região mais baixa e na região mais alta, qual deve ser a razão entre as áreas transversais da tubulação entre estas duas regiões? Qual deve ser a razão entre os diâmetros?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fluído que está escoando numa tubulação com velocidade de e precisa levar essa água para uma região que está 8 metros mais abaixo. Queremos manter a pressão da água igual nas duas regiões. Para isso, vamos precisar usar dois conceitos importantes da física dos fluidos: a equação de Bernoulli e a equação da continuidade. A equação de Bernoulli vai nos ajudar a relacionar a pressão, a velocidade e a altura do fluído, enquanto a equação da continuidade vai relacionar as áreas das seções transversais da tubulação com as velocidades do fluído em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Bernoulli, que é uma versão simplificada da conservação de energia para fluidos em escoamento. Ela diz que, ao longo de uma linha de fluxo, a soma da pressão estática ( P + 12 rho v^2 + rho g h = constante ), da energia cinética ( ) e da energia potencial gravitacional ( ) é constante. A equação fica assim:
Onde:
  • é a pressão do fluído,
  • é a densidade do fluído,
  • é a velocidade do fluído,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura em relação a um ponto de referência.

Passo 3

Como queremos que a pressão seja a mesma nas duas regiões, podemos igualar as equações de Bernoulli nos dois pontos (mais alto e mais baixo). Vamos chamar o ponto mais alto de ponto 1 e o mais baixo de ponto 2. Assim, temos:
P1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Como 12 rho v1^2 + rho g h1 = 12 rho v2^2 + rho g (h1 - 8) e , a equação simplifica para:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar 12 v1^2 + g h1 = 12 v2^2 + g (h1 - 8) de todos os termos:
12 v1^2 - 12 v2^2 = - g times (-8)
Agora, podemos rearranjar os termos para isolar a diferença de velocidades:
12 (v1^2 - v2^2) = 8g
Simplificando:
v1^2 - v2^2 = 16g
Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 5

Agora, vamos usar a equação da continuidade, que nos diz que o fluxo de massa deve ser constante ao longo da tubulação. Para fluidos incompressíveis, isso se traduz na relação:
A1 v1 = A2 v2
Onde:
  • A1A2 = v2v1 e são as áreas das seções transversais nos pontos 1 e 2,
  • e são as velocidades do fluído nesses pontos.
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Queremos encontrar a razão entre as áreas A2A1 = v1v2 . Da equação acima:
v1^2 - v2^2 = 16g
Mas precisamos relacionar (2)^2 - v2^2 = 16 times 9,81 e 4 - v2^2 = 156,96 . Vamos voltar à equação que obtivemos anteriormente:
v2^2 = 4 - 156,96 = -152,96
Sabemos que e é aproximadamente . Vamos substituir esses valores:
Aqui, percebemos que o resultado para ficou negativo, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que, com os parâmetros dados, não é possível manter a pressão constante nas duas regiões. A queda de altura impõe uma variação inevitável na pressão, a menos que se façam ajustes adicionais no sistema, como a aplicação de trabalho externo.

Resposta

Não é possível manter a pressão da água igual nas duas regiões com os parâmetros fornecidos, já que a diferença de altura resulta em uma variação de pressão inevitável.

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