Em um determinado ponto de uma tubulação um fluído escoa com uma velocidade de
. A tubulação percorre um caminho que leva a água para uma região situada 8 m abaixo deste ponto. Caso se deseje manter a pressão da água com o mesmo valor na região mais baixa e na região mais alta, qual deve ser a razão entre as áreas transversais da tubulação entre estas duas regiões? Qual deve ser a razão entre os diâmetros?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fluído que está escoando numa tubulação com velocidade de
e precisa levar essa água para uma região que está 8 metros mais abaixo. Queremos manter a pressão da água igual nas duas regiões. Para isso, vamos precisar usar dois conceitos importantes da física dos fluidos: a equação de Bernoulli e a equação da continuidade. A equação de Bernoulli vai nos ajudar a relacionar a pressão, a velocidade e a altura do fluído, enquanto a equação da continuidade vai relacionar as áreas das seções transversais da tubulação com as velocidades do fluído em cada ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de Bernoulli, que é uma versão simplificada da conservação de energia para fluidos em escoamento. Ela diz que, ao longo de uma linha de fluxo, a soma da pressão estática (
), da energia cinética (
) e da energia potencial gravitacional (
) é constante. A equação fica assim:
Onde:
-
é a pressão do fluído, -
é a densidade do fluído, -
é a velocidade do fluído, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura em relação a um ponto de referência.
Passo 3
Como queremos que a pressão seja a mesma nas duas regiões, podemos igualar as equações de Bernoulli nos dois pontos (mais alto e mais baixo). Vamos chamar o ponto mais alto de ponto 1 e o mais baixo de ponto 2. Assim, temos:
Como
e
, a equação simplifica para:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos cancelar
de todos os termos:
Agora, podemos rearranjar os termos para isolar a diferença de velocidades:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 5
Agora, vamos usar a equação da continuidade, que nos diz que o fluxo de massa deve ser constante ao longo da tubulação. Para fluidos incompressíveis, isso se traduz na relação:
Onde:
-
e são as áreas das seções transversais nos pontos 1 e 2, -
e são as velocidades do fluído nesses pontos.
Podemos reescrever isso como:
Passo 6
Queremos encontrar a razão entre as áreas
. Da equação acima:
Mas precisamos relacionar
e
. Vamos voltar à equação que obtivemos anteriormente:
Sabemos que
e
é aproximadamente
. Vamos substituir esses valores:
Aqui, percebemos que o resultado para
ficou negativo, o que não faz sentido fisicamente. Isso indica que, com os parâmetros dados, não é possível manter a pressão constante nas duas regiões. A queda de altura impõe uma variação inevitável na pressão, a menos que se façam ajustes adicionais no sistema, como a aplicação de trabalho externo.
Resposta
Não é possível manter a pressão da água igual nas duas regiões com os parâmetros fornecidos, já que a diferença de altura resulta em uma variação de pressão inevitável.