Calcule onde é o conjunto dos pontos tais que e . (Resp.: .)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre o conjunto , que consiste em todos os pontos em que satisfazem e . O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais múltiplas em coordenadas esféricas, já que a região é um “anel” esférico entre esferas de raio 1 e 2, e estamos considerando apenas a parte superior (). Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para esféricas e usar a fórmula do volume em coordenadas esféricas.
Passo 2
Em coordenadas esféricas, as relações entre as coordenadas cartesianas e esféricas são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
A função que vamos integrar é x^2 + y^2 + z^2 = (r sin phi cos theta)^2 + (r sin phi sin theta)^2 + (r cos phi)^2 = r^2 (sin^2 phi cos^2 theta + sin^2 phi sin^2 theta + cos^2 phi) = r^2 (sin^2 phi (cos^2 theta + sin^2 theta) + cos^2 phi) = r^2 (sin^2 phi + cos^2 phi) = r^2 . Substituindo as expressões esféricas:
Portanto, a função simplifica para .
Passo 4
Agora, definimos os limites de integração. A condição se traduz em , ou seja, .
A condição equivale a variando de a (metade superior da esfera).
Finalmente, varia de a para cobrir toda a circunferência.
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaD ( x^2 + y^2 + z^2 ) dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral1^2 r^2 cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Simplificando o integrando:
r^2 cdot r^2 sin phi = r^4 sin phi
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^pi2 integral1^2 r^4 sin phi , dr , dphi , dtheta
Passo 6
Vamos resolver a integral em integral1^2 r^4 , dr = [ r^55 ]1^2 = 2^55 - 1^55 = 325 - 15 = 315 primeiro:
Passo 7
Em seguida, resolvemos a integral em integral0^pi2 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi2 = -cos ( pi2 ) + cos(0) = -0 + 1 = 1 :
Passo 8
Por fim, resolvemos a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :