Calcule integral triplaD(x^2+y^2+z^2) d V onde D é o conjunto dos pontos (x, y, z) in R^3 tais que 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4 e z >= 0. (Resp.: 62 pi / 5.)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral tripla de sobre o conjunto , que consiste em todos os pontos em que satisfazem e . O conteúdo principal aqui é o cálculo de integrais múltiplas em coordenadas esféricas, já que a região é um “anel” esférico entre esferas de raio 1 e 2, e estamos considerando apenas a parte superior ( ). Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para esféricas e usar a fórmula do volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Em coordenadas esféricas, as relações entre as coordenadas cartesianas x = r sin phi cos theta y = r sin phi sin theta z = r cos phi e esféricas dV = r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta são:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

A função que vamos integrar é x^2 + y^2 + z^2 = (r sin phi cos theta)^2 + (r sin phi sin theta)^2 + (r cos phi)^2 = r^2 (sin^2 phi cos^2 theta + sin^2 phi sin^2 theta + cos^2 phi) = r^2 (sin^2 phi (cos^2 theta + sin^2 theta) + cos^2 phi) = r^2 (sin^2 phi + cos^2 phi) = r^2 . Substituindo as expressões esféricas:
Portanto, a função simplifica para .

Passo 4

Agora, definimos os limites de integração. A condição se traduz em , ou seja, .
A condição equivale a variando de a (metade superior da esfera).
Finalmente, varia de a para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas esféricas:
integral triplaD ( x^2 + y^2 + z^2 ) dV = integral0^2pi integral0^pi2 integral1^2 r^2 cdot r^2 sin phi , dr , dphi , dtheta
Simplificando o integrando:
r^2 cdot r^2 sin phi = r^4 sin phi
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^pi2 integral1^2 r^4 sin phi , dr , dphi , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral1^2 r^4 , dr = [ r^55 ]1^2 = 2^55 - 1^55 = 325 - 15 = 315 primeiro:

Passo 7

Em seguida, resolvemos a integral em integral0^pi2 sin phi , dphi = [ -cos phi ]0^pi2 = -cos ( pi2 ) + cos(0) = -0 + 1 = 1 :

Passo 8

Por fim, resolvemos a integral em integral0^2pi dtheta = 2pi :

Passo 9

Multiplicando os resultados das integrais:
315 times 1 times 2pi = 62pi5

Resposta

62,pi5

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