Determine o centro de gravidade (ou centro de massa) de uma lâmina plana limitada pela parábola e pelas retas e , sabendo-se que a densidade no ponto é proporcional à abscissa do ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa achar o centro de gravidade (ou centro de massa) de uma lâmina plana. A lâmina tá limitada pela parábola , pelas retas (que é o eixo x) e . Além disso, a densidade em cada ponto é proporcional à abscissa . Vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa e integração dupla para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o centro de massa é dado por:
onde é a massa total da lâmina, e é a função densidade.
Passo 3
Como a densidade é proporcional a , podemos dizer que , onde é uma constante de proporcionalidade. Mas como queremos apenas as coordenadas do centro de massa, podemos considerar para simplificar os cálculos, já que a constante vai se cancelar depois.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A região é delimitada pela parábola , pela reta e por . Então, para integraremos em de 0 a 4, e para cada , vai de até .