Determine o centro de gravidade (ou centro de massa) de uma lâmina plana limitada pela parábola
e pelas retas
e
, sabendo-se que a densidade no ponto
é proporcional à abscissa do ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa achar o centro de gravidade (ou centro de massa) de uma lâmina plana. A lâmina tá limitada pela parábola
, pelas retas
(que é o eixo x) e
. Além disso, a densidade em cada ponto
é proporcional à abscissa
. Vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa e integração dupla para isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o centro de massa
é dado por:
onde
é a massa total da lâmina, e
é a função densidade.
Passo 3
Como a densidade é proporcional a
, podemos dizer que
, onde
é uma constante de proporcionalidade. Mas como queremos apenas as coordenadas do centro de massa, podemos considerar
para simplificar os cálculos, já que a constante vai se cancelar depois.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. A região é delimitada pela parábola
, pela reta
e por
. Então, para integraremos em
de 0 a 4, e para cada
,
vai de
até
.
Passo 5
Vamos calcular a massa total
:
Integrando em relação a
:
Calculando a integral:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
:
Calculando a integral:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
:
Integrando em relação a
:
Calculando a integral:
Resposta
O centro de gravidade da lâmina é
.
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Calcule
onde
D é o conjunto dos pontos
R^3 tais que
e
z ≥ 0 . (Resp.:
.)
Considere que um visitante passando por essa cidade escolha aleatoriamente um posto para abastecer o seu veículo. A probabilidade de ele escolher um posto em que o preço da gasolina esteja acima da média de preços é menor que 0,25.
<html><head></head><body><div>As rochas geradoras de sistemas petrolíferos, geralmente ricas em matéria orgânica, são capazes de expelir petróleo quando submetidas a temperaturas em torno de <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.05ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“4.884ex” height=“1.649ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -707 2158.6 729”><title>50 graus C</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“35” d=“M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z”></path><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z” transform=“translate(500,0)”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(1033,393.1) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“2218” d=“M55 251Q55 328 112 386T249 444T386 388T444 249Q444 171 388 113T250 55Q170 55 113 112T55 251ZM245 403Q188 403 142 361T96 250Q96 183 141 140T250 96Q284 96 313 109T354 135T375 160Q403 197 403 250Q403 313 360 358T245 403Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(1436.6,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“43” d=“M56 342Q56 428 89 500T174 615T283 681T391 705Q394 705 400 705T408 704Q499 704 569 636L582 624L612 663Q639 700 643 704Q644 704 647 704T653 705H657Q660 705 666 699V419L660 413H626Q620 419 619 430Q610 512 571 572T476 651Q457 658 426 658Q322 658 252 588Q173 509 173 342Q173 221 211 151Q232 111 263 84T328 45T384 29T428 24Q517 24 571 93T626 244Q626 251 632 257H660L666 251V236Q661 133 590 56T403 -21Q262 -21 159 83T56 342Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>.</div>
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</body></html>
Seja
.
(a) Escreva a integral em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas.
(a) Escreva a integral