Determine o centro de gravidade (ou centro de massa) de uma lâmina plana limitada pela parábola y = x^2 e pelas retas y = 0 e x = 4, sabendo-se que a densidade no ponto P = (x, y) é proporcional à abscissa do ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa achar o centro de gravidade (ou centro de massa) de uma lâmina plana. A lâmina tá limitada pela parábola , pelas retas (que é o eixo x) e . Além disso, a densidade em cada ponto é proporcional à abscissa . Vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa e integração dupla para isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o centro de massa é dado por:
onde é a massa total da lâmina, e é a função densidade.

Passo 3

Como a densidade é proporcional a , podemos dizer que , onde é uma constante de proporcionalidade. Mas como queremos apenas as coordenadas do centro de massa, podemos considerar para simplificar os cálculos, já que a constante vai se cancelar depois.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. A região é delimitada pela parábola , pela reta e por . Então, para integraremos em de 0 a 4, e para cada , vai de até .

Passo 5

Vamos calcular a massa total :
Integrando em relação a :
Calculando a integral:

Passo 6

Agora, vamos encontrar :
Calculando a integral:

Passo 7

Agora, vamos encontrar :
Integrando em relação a :
Calculando a integral:

Resposta

O centro de gravidade da lâmina é .

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