Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de
e
indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é útil quando a integral é do tipo de um produto de duas funções. Vamos precisar entender como escolher as funções
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, escolhemos qual parte da integral vamos chamar de
e qual de
. Aqui, vamos deixar e
. Isso porque derivar simplifica a expressão, e integrar
é bem direto.
Passo 3
Agora, precisamos calcular
e
.
-
Para
, derivamos : -
Para
, integramos :
Passo 4
Aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a nova integral . Para isso, fazemos uma nova integração por partes. Vamos escolher:
Passo 6
Calculamos
e
novamente:
-
Derivando :
-
Integrando
:
Passo 7
Aplicamos a integração por partes na nova integral:
Simplificando:
Passo 8
Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o -2:
Resposta
A integral vale:
onde
é a constante de integração.
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