Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. integral(arcsen x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando integração por partes. Esse método é útil quando a integral é do tipo de um produto de duas funções. Vamos precisar entender como escolher as funções e para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, escolhemos qual parte da integral vamos chamar de e qual de . Aqui, vamos deixar e . Isso porque derivar simplifica a expressão, e integrar é bem direto.

Passo 3

Agora, precisamos calcular du = 2 arcsen x cdot 1raiz1 - x^2 dx e v = integral dx = x .
  • Para , derivamos :
  • Para , integramos :

Passo 4

Aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a nova integral . Para isso, fazemos uma nova integração por partes. Vamos escolher:

Passo 6

Calculamos du = 1raiz1 - x^2 dx e v = -raiz1 - x^2 novamente:
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 7

Aplicamos a integração por partes na nova integral:
Simplificando:

Passo 8

Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o -2:

Resposta

A integral vale:
onde x (arcsen x)^2 + 2 arcsen x cdot raiz1 - x^2 - 2x + C é a constante de integração.

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