Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=1^infty 2^2 n 5^-3 n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela convergir, também vamos calcular a soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para identificar se ela é uma série geométrica. A série dada é sumn=1^infty (4125)^n . Podemos reescrever como e como . Assim, a série fica:

Passo 3

Agora, percebemos que essa é uma série geométrica com razão comum . Para uma série geométrica , ela converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, .

Passo 4

Vamos verificar a razão |4125| = 4125 < 1 :
Como é menor que 1, a série é convergente.

Passo 5

Como a série é convergente, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = r1 - r
Substituindo S = 41251 - 4125 = 4125121125 = 4121 :

Resposta

A série converge e a soma é .

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