Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar se a série é convergente ou divergente. Se ela convergir, também vamos calcular a soma. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para identificar se ela é uma série geométrica. A série dada é . Podemos reescrever como e como . Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, percebemos que essa é uma série geométrica com razão comum . Para uma série geométrica , ela converge se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, .
Passo 4
Vamos verificar a razão :
Como é menor que 1, a série é convergente.
Passo 5
Como a série é convergente, podemos calcular a soma dela usando a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: