Calcule os limites abażco se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
lim x -2 2-|x|x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto se comporta perto de e como isso afeta a expressão inteira.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração quando 2 - |x| = 2 - 2 = 0 está perto de x + 2 to 0 .
No numerador temos . Como está se aproximando de , o valor absoluto vai ser igual a , porque . Então, substituindo:
No denominador temos . Quando se aproxima de , vai se aproximar de :
Então, estamos com uma forma , que é indeterminada. Isso significa que precisamos de uma estratégia para resolver esse limite.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x) , uma técnica útil é aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se o limite de f'(x) = -x|x| resulta em g'(x) = 1 ou limx to -2 2 - |x|x + 2 = limx to -2 -x|x|1 = limx to -2 (-x|x|) , podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar isso aqui. Primeiro, encontramos as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador :
Derivada do denominador :
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:

Passo 4

Vamos simplificar |x| = -x quando x < 0 . Como -x|x| = -x-x = 1 está se aproximando de limx to -2 1 = 1 , que é um número negativo, o valor absoluto é igual a :
Substituindo:
Portanto, o limite simplifica para:

Resposta

limx -2 2 - |x|x + 2 = 1

Exercícios relacionados

Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. integral z^3 e^z d z
Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas de u e d v indicadas. integral(arcsen x)^2 d x
Encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0.
y'' + x^2 y' + x y = 0
Uma superficie S é representada pela equação vetorial
r(u, v) = cos(v) i + sen(v) j + u k, 0 <= u <= 4, 0 <= v <= 2 pi
Determinar a área de S.