Calcule os limites abażco se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Isso está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente sobre limites. Para resolver, vamos precisar entender como o valor absoluto
se comporta perto de
e como isso afeta a expressão inteira.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da fração quando
está perto de
.
No numerador temos
. Como
está se aproximando de
, o valor absoluto
vai ser igual a
, porque
. Então, substituindo:
No denominador temos
. Quando
se aproxima de
,
vai se aproximar de
:
Então, estamos com uma forma
, que é indeterminada. Isso significa que precisamos de uma estratégia para resolver esse limite.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada como
, uma técnica útil é aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra nos diz que, se o limite de
resulta em
ou
, podemos calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar isso aqui. Primeiro, encontramos as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital:
Passo 4
Vamos simplificar
. Como
está se aproximando de
, que é um número negativo, o valor absoluto
é igual a
:
Substituindo:
Portanto, o limite simplifica para:
Resposta
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e
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.
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.