Calcule a integral utilizando coordenadas polares
integral0^1 integralraiz3 y^raiz4-y^2 3 x1+(x^2+y^2)^32 d x d y
Resp.: ln 92.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado é:
integral0^1 integralraiz3 y^raiz4-y^2 3 x1+(x^2+y^2)^32 , dx , dy
Vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e usar propriedades de simetria para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos y variando de 0 a 1, e para cada y, x varia de raiz3 y até raiz4 - y^2. Isso define uma área no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
x = r cos theta y = r sin theta dx , dy = r , dr , dtheta
Também, x^2 + y^2 = r^2.

Passo 4

Vamos determinar os limites em coordenadas polares. A linha x = raiz3 y se traduz em:
r cos theta = raiz3 r sin theta cos theta = raiz3 sin theta tan theta = 1raiz3 theta = pi6
E a curva x^2 + y^2 = 4 se torna r = 2.
Como y varia de 0 a 1, e r até 2, os limites são de theta de 0 a pi6 e r de 0 a 2.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^pi6 integral0^2 3 r cos theta1 + r^3 cdot r , dr , dtheta = 3 integral0^pi6 cos theta integral0^2 r^21 + r^3 , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em r:
integral r^21 + r^3 , dr
Fazendo a substituição u = 1 + r^3, então du = 3r^2 dr, ou seja, r^2 dr = du3.
Então:
integral r^21 + r^3 , dr = 13 integral 1u , du = 13 ln |u| + C = 13 ln(1 + r^3) + C

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 2:
13 ln(1 + r^3) |0^2 = 13 ln(1 + 8) - 13 ln(1 + 0) = 13 ln 9

Passo 8

Agora, voltamos para a integral em theta:
3 integral0^pi6 cos theta cdot 13 ln 9 , dtheta = ln 9 integral0^pi6 cos theta , dtheta

Passo 9

Integrando cos theta:
integral cos theta , dtheta = sin theta + C
Aplicando os limites de 0 a pi6:
sin(pi6) - sin(0) = 12 - 0 = 12

Passo 10

Multiplicando tudo:
ln 9 cdot 12 = ln 92

Resposta

ln 92

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