Calcule a integral utilizando coordenadas polares
Resp.: .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado é:
Vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e usar propriedades de simetria para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos y variando de 0 a 1, e para cada y, x varia de até . Isso define uma área no primeiro quadrante.

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
Também, .

Passo 4

Vamos determinar os limites em coordenadas polares. A linha se traduz em:
E a curva se torna .
Como y varia de 0 a 1, e r até 2, os limites são de de 0 a e r de 0 a 2.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em r:
Fazendo a substituição , então , ou seja, .
Então:

Passo 7

Aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 8

Agora, voltamos para a integral em :

Passo 9

Integrando :
Aplicando os limites de 0 a :

Passo 10

Multiplicando tudo:

Resposta

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(b)
Determine uma fórmula para nas funções e indicadas.
(a) e ;
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