Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado é:
Vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e usar propriedades de simetria para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração. Temos y variando de 0 a 1, e para cada y, x varia de até . Isso define uma área no primeiro quadrante.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que:
Também, .
Passo 4
Vamos determinar os limites em coordenadas polares. A linha se traduz em:
E a curva se torna .
Como y varia de 0 a 1, e r até 2, os limites são de de 0 a e r de 0 a 2.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em r:
Fazendo a substituição , então , ou seja, .
Então:
Passo 7
Aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 8
Agora, voltamos para a integral em theta:
3 integral0^pi6 cos theta cdot 13 ln 9 , dtheta = ln 9 integral0^pi6 cos theta , dtheta