Calcule integral0^pi sin x d x4+cos ^2 x

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de a da função . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente, substituição ( -substituição) e fórmulas de integrais envolvendo funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar:
u = cos x
Dessa forma, a derivada de dudx = -sin x Rightarrow sin x , dx = -du em relação a é:

Passo 3

Agora, substituímos na integral original os valores de integral0^pi sin x4 + cos^2 x , dx = integral1^-1 -du4 + u^2 = integral-1^1 du4 + u^2 e . Também precisamos ajustar os limites de integração conforme a substituição:
  • Quando , .
  • Quando , .
Portanto, a integral fica:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral integral dua^2 + u^2 = 1a tan^-1(ua) + C . Sabemos que a integral de uma função da forma é:
Aqui, , então .

Passo 5

Aplicando a fórmula, temos:
integral du4 + u^2 = 12 tan^-1(u2) + C
Agora, aplicamos os limites de integração de [ 12 tan^-1(u2) ]-1^1 = 12 tan^-1(12) - 12 tan^-1(-12) a :

Passo 6

Sabemos que a função 12 tan^-1(12) - 12 tan^-1(-12) = 12 tan^-1(12) + 12 tan^-1(12) . Então:
12 tan^-1(12) + 12 tan^-1(12) = tan^-1(12)
Isso resulta em:

Resposta

O valor da integral é radianos.

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