Calcule integral0^1 x^2 arcsin x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 a 1. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente a técnica de integração por partes. Pra resolver, vamos precisar entender como aplicar essa técnica e manipular funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, a gente vai precisar escolher quais partes da nossa função serão e . Geralmente, a gente escolhe como a parte que fica mais simples ao derivar e como a parte que fica fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
  • (porque derivar dá uma função mais simples)
  • (porque integrar é fácil)
Agora, vamos calcular e :
  • Derivando :
  • Integrando :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral0^1 x^2 arcsin x , dx = x^33 arcsin x |0^1 - integral0^1 x^33 cdot 1raiz1 - x^2 dx
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, a parte :
  • Em : , então
  • Em : , então tudo fica 0
Portanto, essa parte resulta em .

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral restante:
integral0^1 x^33 raiz1 - x^2 dx = 13 integral0^1 x^3raiz1 - x^2 dx
Fazendo a substituição 13 integral0^1 x^3raiz1 - x^2 dx = 13 ( integral0^1 xraiz1 - x^2 dx - integral0^1 xraiz1 - x^2 (1 - x^2) dx ) , temos 13 ( integral0^1 xraiz1 - x^2 dx - integral0^1 x raiz1 - x^2 , dx ) , mas isso pode complicar. Então, uma abordagem mais simples é reescrever integral xraiz1 - x^2 dx = -raiz1 - x^2 como e usar a identidade :
Simplificando:
A primeira integral é fácil:
A segunda integral também pode ser resolvida por substituição.

Passo 7

Calculando as integrais:
  • Para -raiz1 - x^2 |0^1 = -(0) - (-1) = 1 :
-13 (0^3/2 - 1^3/2) = 13
  • Para :
Fazendo , , então
Avaliando de 0 a 1:

Passo 8

Voltando à expressão anterior:
13 ( 1 - 13 ) = 13 cdot 23 = 29

Resposta

A integral vale .

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