(b) (10 pontos) Prove, usando a definição de limite, que
Passo 1
Então, o que temos aqui é uma questão matemática que pede para provar, usando a definição de limite, que
Vamos trabalhar com o conceito de limite de uma função quando
se aproxima de um valor específico, que nesse caso é 2. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite (usando
e
) e aplicar essa definição à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
, e
. Vamos mostrar que para qualquer
, podemos encontrar um
que satisfaça essa condição.
Passo 3
Vamos começar calculando
:
Podemos fatorar essa expressão:
Então,
Passo 4
Nosso objetivo é fazer com que
. A expressão que temos é:
Para controlar essa expressão, vamos limitar
para que possamos estimar
. Suponha que
. Isso implica que
está entre 1 e 3, ou seja,
. Assim,
Portanto,
Passo 5
Agora, voltando à nossa expressão original:
Queremos que isso seja menor que
:
Então, basta garantir que:
Passo 6
Agora, definimos
como o menor entre 1 e
:
Assim, sempre que
, teremos:
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, provamos que
Exercícios relacionados
(a) (5 pontos) Admitindo que
, mostre que
Calcule
Calcule os seguintes limites: (e) (9 pontos)
.
Mostre que a função
tem pelo menos uma raiz real. Solução: