(b) (10 pontos) Prove, usando a definição de limite, que
lim x 2(x^2-3 x+3)=1

Passo 1

Então, o que temos aqui é uma questão matemática que pede para provar, usando a definição de limite, que
lim x 2(x^2-3 x+3)=1
Vamos trabalhar com o conceito de limite de uma função quando se aproxima de um valor específico, que nesse caso é 2. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição formal de limite (usando e ) e aplicar essa definição à função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite. Dizemos que
limx to a f(x) = L
se, para todo , existe um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , , e . Vamos mostrar que para qualquer , podemos encontrar um que satisfaça essa condição.

Passo 3

Vamos começar calculando |f(x) - 1| = |x^2 - 3x + 3 - 1| = |x^2 - 3x + 2| :
|x^2 - 3x + 2| = |(x - 1)(x - 2)|
Podemos fatorar essa expressão:
|f(x) - 1| = |x - 1| cdot |x - 2|
Então,

Passo 4

Nosso objetivo é fazer com que |x - 1| cdot |x - 2| < varepsilon . A expressão que temos é:
|x - 1| = |x - 2 + 1| <= |x - 2| + 1 < 1 + 1 = 2
Para controlar essa expressão, vamos limitar |x - 1| < 2 para que possamos estimar . Suponha que . Isso implica que está entre 1 e 3, ou seja, . Assim,
Portanto,

Passo 5

Agora, voltando à nossa expressão original:
|x - 1| cdot |x - 2| < 2 cdot |x - 2|
Queremos que isso seja menor que 2 cdot |x - 2| < varepsilon :
|x - 2| < varepsilon2
Então, basta garantir que:

Passo 6

Agora, definimos de como o menor entre 1 e |f(x) - 1| = |x^2 - 3x + 2| = |x - 1| cdot |x - 2| < 2 cdot varepsilon2 = varepsilon :
Assim, sempre que , teremos:

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, provamos que
lim x 2(x^2-3 x+3)=1

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