Calcule:
(a) integral0^1 x e^x d x
(b) integral1^2 ln t d t
© integral0^pi x^3 cos (x^2) d x.
(d) integral0^x t^2 e^-s t d t, sendo s neq 0.

Passo 1

Vamos resolver a integral (a) . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem produtos de funções. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar separadamente.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivarmos e como a função que é fácil de integrar.

Passo 3

Para a integral u = x Rightarrow du = dx , vamos escolher:
dv = e^x dx Rightarrow v = e^x

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x e^x dx = uv - integral v , du = x e^x - integral e^x dx

Passo 5

Calculando a integral restante:
integral e^x dx = e^x + C
Portanto:
integral x e^x dx = x e^x - e^x + C = e^x(x - 1) + C

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
integral0^1 x e^x dx = [ e^x(x - 1) ]0^1 = e^1(1 - 1) - e^0(0 - 1) = 0 - (-1) = 1

Passo 7

Vamos resolver a integral (b) . Nesse caso, estamos lidando com a integração de uma função logarítmica. Para resolver essa integral, utilizaremos novamente a técnica de integração por partes.

Passo 8

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Identificamos e de tal forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 9

Para a integral u = ln t Rightarrow du = 1t dt , escolhemos:
dv = dt Rightarrow v = t

Passo 10

Aplicando a fórmula:
integral ln t , dt = uv - integral v , du = t ln t - integral t cdot 1t dt = t ln t - integral 1 , dt

Passo 11

Calculando a integral restante:
integral 1 , dt = t + C
Portanto:
integral ln t , dt = t ln t - t + C

Passo 12

Aplicando os limites de 1 a 2:
integral1^2 ln t , dt = [ t ln t - t ]1^2 = (2 ln 2 - 2) - (1 ln 1 - 1) = (2 ln 2 - 2) - (0 - 1) = 2 ln 2 - 1

Passo 13

Vamos resolver a integral © . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial multiplicada por uma função trigonométrica composta. Para resolver essa integral, vamos utilizar a substituição adequada para simplificar a expressão.

Passo 14

Observando a integral , notamos que a presença de dentro do cosseno sugere uma substituição onde , pois isso facilitará a integração.

Passo 15

Vamos definir:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx Rightarrow x , dx = du2
No entanto, temos x^3 = x^2 cdot x = u^1 cdot x , que pode ser reescrito como integral x^3 cos(x^2) dx = integral u cdot x cos(u) cdot du2 = 12 integral u cos(u) , du :
Então, substituindo na integral:

Passo 16

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, aplicamos novamente a técnica de integração por partes.

Passo 17

Escolhemos:
u1 = u Rightarrow du1 = du
dv1 = cos(u) du Rightarrow v1 = sin(u)
Aplicando a fórmula:
integral u cos(u) , du = u sin(u) - integral sin(u) , du = u sin(u) + cos(u) + C

Passo 18

Voltando à substituição original:
12 integral u cos(u) , du = 12 ( u sin(u) + cos(u) ) + C = 12 x^2 sin(x^2) + 12 cos(x^2) + C
Agora, aplicamos os limites de 0 a integral0^pi x^3 cos(x^2) dx = 12 [ x^2 sin(x^2) + cos(x^2) ]0^pi :

Passo 19

Vamos resolver a integral (d) , onde . Aqui, tratamos de uma integral que envolve uma função polinomial multiplicada por uma função exponencial. Para resolver, vamos utilizar a integração por partes repetidamente ou reconhecer uma forma padrão conhecida.

Passo 20

Observando a integral , percebemos que a integração por partes será necessária múltiplas vezes, já que o polinômio requer derivação repetida até desaparecer.

Passo 21

Aplicamos a integração por partes, definindo:
u = t^2 Rightarrow du = 2t , dt
dv = e^-s t dt Rightarrow v = -1s e^-s t
Então:
integral t^2 e^-s t dt = -t^2s e^-s t + 2s integral t e^-s t dt

Passo 22

Agora, precisamos resolver u = t Rightarrow du = dt . Aplicamos novamente a integração por partes:
dv = e^-s t dt Rightarrow v = -1s e^-s t
integral t e^-s t dt = -ts e^-s t + 1s integral e^-s t dt = -ts e^-s t - 1s^2 e^-s t + C
Então:

Passo 23

Substituindo de volta na integral original:
integral t^2 e^-s t dt = -t^2s e^-s t + 2s ( -ts e^-s t - 1s^2 e^-s t ) + C = -t^2s e^-s t - 2 ts^2 e^-s t - 2s^3 e^-s t + C

Passo 24

Agora, aplicamos os limites de 0 a integral0^x t^2 e^-s t dt = [ -t^2s e^-s t - 2 ts^2 e^-s t - 2s^3 e^-s t ]0^x = ( -x^2s e^-s x - 2 xs^2 e^-s x - 2s^3 e^-s x ) - ( 0 - 0 - 2s^3 ) :
= -x^2s e^-s x - 2 xs^2 e^-s x - 2s^3 e^-s x + 2s^3 = -e^-s x ( x^2s + 2 xs^2 + 2s^3 ) + 2s^3
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a .

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