Calcule:
(a)
(b)
©
.
(d)
, sendo
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos resolver a integral (a)
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem produtos de funções. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar separadamente.
Passo 2
A integração por partes é baseada na fórmula:
Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que se simplifica ao derivarmos e
como a função que é fácil de integrar.
Passo 3
Para a integral
, vamos escolher:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Passo 5
Calculando a integral restante:
Portanto:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Passo 7
Vamos resolver a integral (b)
. Nesse caso, estamos lidando com a integração de uma função logarítmica. Para resolver essa integral, utilizaremos novamente a técnica de integração por partes.
Passo 8
A fórmula da integração por partes é:
Identificamos
e
de tal forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.
Passo 9
Para a integral
, escolhemos:
Passo 10
Aplicando a fórmula:
Passo 11
Calculando a integral restante:
Portanto:
Passo 12
Aplicando os limites de 1 a 2:
Passo 13
Vamos resolver a integral ©
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial multiplicada por uma função trigonométrica composta. Para resolver essa integral, vamos utilizar a substituição adequada para simplificar a expressão.
Passo 14
Observando a integral
, notamos que a presença de
dentro do cosseno sugere uma substituição onde
, pois isso facilitará a integração.
Passo 15
Vamos definir:
No entanto, temos
, que pode ser reescrito como
:
Então, substituindo na integral:
Passo 16
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, aplicamos novamente a técnica de integração por partes.
Passo 17
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Passo 18
Voltando à substituição original:
Agora, aplicamos os limites de 0 a
:
Passo 19
Vamos resolver a integral (d)
, onde
. Aqui, tratamos de uma integral que envolve uma função polinomial multiplicada por uma função exponencial. Para resolver, vamos utilizar a integração por partes repetidamente ou reconhecer uma forma padrão conhecida.
Passo 20
Observando a integral
, percebemos que a integração por partes será necessária múltiplas vezes, já que o polinômio
requer derivação repetida até desaparecer.
Passo 21
Aplicamos a integração por partes, definindo:
Então:
Passo 22
Agora, precisamos resolver
. Aplicamos novamente a integração por partes:
Então:
Passo 23
Substituindo de volta na integral original:
Passo 24
Agora, aplicamos os limites de 0 a
:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Utilizando mudança de variável, calcule as seguintes integrais:
(a)
(b)
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .
(j) .
(k) .
(l) .
(m) .
(n) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
Utilize a mudança de variável
para calcular as integrais seguintes:
(a)
(b)
© .
(a)
(b)
©
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)