Calcule:
(a)
(b)
© .
(d) , sendo .

Passo 1

Vamos resolver a integral (a) . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem produtos de funções. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções que são mais fáceis de integrar separadamente.

Passo 2

A integração por partes é baseada na fórmula:
Primeiro, precisamos identificar quais partes da nossa integral serão e . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivarmos e como a função que é fácil de integrar.

Passo 3

Para a integral , vamos escolher:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:

Passo 5

Calculando a integral restante:
Portanto:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:

Passo 7

Vamos resolver a integral (b) . Nesse caso, estamos lidando com a integração de uma função logarítmica. Para resolver essa integral, utilizaremos novamente a técnica de integração por partes.

Passo 8

A fórmula da integração por partes é:
Identificamos e de tal forma que a integral resultante seja mais fácil de resolver.

Passo 9

Para a integral , escolhemos:

Passo 10

Aplicando a fórmula:

Passo 11

Calculando a integral restante:
Portanto:

Passo 12

Aplicando os limites de 1 a 2:

Passo 13

Vamos resolver a integral © . Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial multiplicada por uma função trigonométrica composta. Para resolver essa integral, vamos utilizar a substituição adequada para simplificar a expressão.

Passo 14

Observando a integral , notamos que a presença de dentro do cosseno sugere uma substituição onde , pois isso facilitará a integração.

Passo 15

Vamos definir:
No entanto, temos , que pode ser reescrito como :
Então, substituindo na integral:

Passo 16

Agora, precisamos resolver a integral . Para isso, aplicamos novamente a técnica de integração por partes.

Passo 17

Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 18

Voltando à substituição original:
Agora, aplicamos os limites de 0 a :

Passo 19

Vamos resolver a integral (d) , onde . Aqui, tratamos de uma integral que envolve uma função polinomial multiplicada por uma função exponencial. Para resolver, vamos utilizar a integração por partes repetidamente ou reconhecer uma forma padrão conhecida.

Passo 20

Observando a integral , percebemos que a integração por partes será necessária múltiplas vezes, já que o polinômio requer derivação repetida até desaparecer.

Passo 21

Aplicamos a integração por partes, definindo:
Então:

Passo 22

Agora, precisamos resolver . Aplicamos novamente a integração por partes:
Então:

Passo 23

Substituindo de volta na integral original:

Passo 24

Agora, aplicamos os limites de 0 a :
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Utilizando mudança de variável, calcule as seguintes integrais:
(a)
(b)
© .
(d) .
(e) .
(f) .
(g) .
Calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i) .
(j) .
(k) .
(l) .
(m) .
(n) .
Utilize a mudança de variável para calcular as integrais seguintes:
(a)
(b)
© .
Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
(a)
(b)
©
(d) .