Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
(a)
(b)
©
(d)
.
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se certas integrais são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, a gente também vai calcular o valor delas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, como limites de integrais impróprias e técnicas de integração. Vamos precisar entender quando uma integral chega a um número finito (convergente) ou vai para o infinito (divergente).
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos ver se essa integral converge. Como o limite é até o infinito, é uma integral imprópria. Podemos resolver isso calculando o limite conforme
vai para o infinito:
Para integrar
, fazemos uma substituição simples:
- Seja
, então ou .
Agora, a integral fica:
Voltando para
:
Aplicando os limites:
Então, essa integral converge e seu valor é
.
Passo 3
Parte (b):
Vamos verificar a convergência dessa integral imprópria. Calculamos o limite conforme
vai para o infinito:
A integral de
é simples:
Aplicando os limites:
Portanto, essa integral converge e seu valor é
.
Passo 4
Parte ©:
Aqui, a integral tem um ponto problemático em
, já que
tende ao infinito. Vamos tratar isso como uma integral imprópria:
Integrando
:
Aplicando os limites:
Então, essa integral converge e seu valor é
.
Passo 5
Parte (d):
Primeiro, observamos que a função
está definida em todo o intervalo
exceto em
. Então, há uma descontinuidade em
, e precisamos dividir a integral em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente, tratando
como um ponto de limite.
Para
:
Integrando:
Aplicando os limites:
Quando
se aproxima de
pelo lado negativo,
tende a
:
Então, a primeira parte da integral diverge.
Como uma parte da integral diverge, a integral total também diverge.
Resposta
(a) Convergente, valor
.
(b) Convergente, valor .
© Convergente, valor .
(d) Divergente.
(b) Convergente, valor
© Convergente, valor
(d) Divergente.