Determine se cada integral é convergente ou divergente. Avalie aquelas que são convergentes.
(a) integral1^infty 1(3 x+1)^2 d x
(b) integral0^infty e^-x d x
© integral0^3 1raizx d x
(d) integral-2^3 1x^4 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente verificar se certas integrais são convergentes ou divergentes. Se forem convergentes, a gente também vai calcular o valor delas. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, como limites de integrais impróprias e técnicas de integração. Vamos precisar entender quando uma integral chega a um número finito (convergente) ou vai para o infinito (divergente).

Passo 2

Parte (a): integral1^infty 1(3x+1)^2 , dx = limb to infty integral1^b 1(3x+1)^2 , dx

Primeiro, vamos ver se essa integral converge. Como o limite é até o infinito, é uma integral imprópria. Podemos resolver isso calculando o limite conforme integral 1u^2 cdot du3 = 13 integral u^-2 , du = 13 ( -u^-1 ) + C = -13u + C vai para o infinito:
-13(3x + 1) + C
Para integrar limb to infty [ -13(3b + 1) + 13(3 cdot 1 + 1) ] = 0 + 112 = 112 , fazemos uma substituição simples:
  • Seja , então ou .
Agora, a integral fica:
Voltando para :
Aplicando os limites:
Então, essa integral converge e seu valor é .

Passo 3

Parte (b): integral0^infty e^-x , dx = limb to infty integral0^b e^-x , dx

Vamos verificar a convergência dessa integral imprópria. Calculamos o limite conforme integral e^-x , dx = -e^-x + C vai para o infinito:
limb to infty [ -e^-b + e^0 ] = 0 + 1 = 1
A integral de é simples:
Aplicando os limites:
Portanto, essa integral converge e seu valor é .

Passo 4

Parte ©: integral0^3 1raizx , dx = lima to 0^+ integrala^3 x^-1/2 , dx

Aqui, a integral tem um ponto problemático em integral x^-1/2 , dx = 2raizx + C , já que lima to 0^+ [ 2raiz3 - 2raiza ] = 2raiz3 - 0 = 2raiz3 tende ao infinito. Vamos tratar isso como uma integral imprópria:
Integrando :
Aplicando os limites:
Então, essa integral converge e seu valor é .

Passo 5

Parte (d): integral-2^3 1x^4 , dx = integral-2^0 1x^4 , dx + integral0^3 1x^4 , dx

Primeiro, observamos que a função integral-2^0 1x^4 , dx = lima to 0^- integral-2^a x^-4 , dx está definida em todo o intervalo integral x^-4 , dx = x^-3-3 + C = -13x^3 + C exceto em lima to 0^- [ -13a^3 + 124 ] . Então, há uma descontinuidade em -13a^3 to infty , e precisamos dividir a integral em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente, tratando como um ponto de limite.
Para :
Integrando:
Aplicando os limites:
Quando se aproxima de pelo lado negativo, tende a :
Então, a primeira parte da integral diverge.
Como uma parte da integral diverge, a integral total também diverge.

Resposta

(a) Convergente, valor .
(b) Convergente, valor .
© Convergente, valor .
(d) Divergente.

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