Utilize a mudança de variável u=tg(x2) para calcular as integrais seguintes:
(a) integral 1sen x+cos x d x
(b) integral 2 tg x2+3 cos x d x
© integral0^pi2 12+sen x d x.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular integrais usando a mudança de variável . A matéria envolvida é cálculo integral, especificamente integração por substituição. Precisaremos entender como aplicar essa substituição para simplificar as integrais dadas.

Passo 2

Para resolver as integrais, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona seno, cosseno e tangente da metade do ângulo. A substituição nos ajuda a transformar as funções trigonométricas em termos de , facilitando a integração.

Passo 3

Primeiro, calculamos as expressões de seno e cosseno em termos de sin x = 2u1 + u^2, cos x = 1 - u^21 + u^2 :
du = 12 sec^2(x2) dx = 1 + u^22 dx Rightarrow dx = 2 , du1 + u^2
Também, a derivada de em relação a é:

Passo 4

Vamos resolver a parte (a): sin x + cos x = 2u1 + u^2 + 1 - u^21 + u^2 = 2u + 1 - u^21 + u^2
Substituindo as expressões de seno e cosseno:
integral 12u + 1 - u^21 + u^2 cdot 2 , du1 + u^2 = integral 1 + u^22u + 1 - u^2 cdot 2 , du1 + u^2 = integral 2 , du2u + 1 - u^2
A integral fica:

Passo 5

Simplificamos a expressão no denominador:
2u + 1 - u^2 = -u^2 + 2u + 1 = -(u^2 - 2u - 1)
Então, a integral fica:
integral 2 , du- (u^2 - 2u - 1) = -2 integral duu^2 - 2u - 1
Completamos o quadrado no denominador:
u^2 - 2u - 1 = (u^2 - 2u + 1) - 2 = (u - 1)^2 - 2
Então, a integral é:
-2 integral du(u - 1)^2 - (raiz2)^2 = -2 cdot 12raiz2 ln | u - 1 - raiz2u - 1 + raiz2 | + C = -1raiz2 ln | u - 1 - raiz2u - 1 + raiz2 | + C

Passo 6

Substituímos -1raiz2 ln | tan(x2) - 1 - raiz2tan(x2) - 1 + raiz2 | + C de volta na expressão:

Resposta

A integral -1raiz2 ln | tan(x2) - 1 - raiz2tan(x2) - 1 + raiz2 | + C é igual a:

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