Vamos resolver o exercício que pede para calcular integrais usando a mudança de variável . A matéria envolvida é cálculo integral, especificamente integração por substituição. Precisaremos entender como aplicar essa substituição para simplificar as integrais dadas.
Passo 2
Para resolver as integrais, vamos usar a identidade trigonométrica que relaciona seno, cosseno e tangente da metade do ângulo. A substituição nos ajuda a transformar as funções trigonométricas em termos de , facilitando a integração.
Passo 3
Primeiro, calculamos as expressões de seno e cosseno em termos de :
Também, a derivada de em relação a é:
Passo 4
Vamos resolver a parte (a):
Substituindo as expressões de seno e cosseno:
A integral fica:
Passo 5
Simplificamos a expressão no denominador:
Então, a integral fica:
Completamos o quadrado no denominador:
Então, a integral é:
Passo 6
Substituímos -1raiz2 ln | tan(x2) - 1 - raiz2tan(x2) - 1 + raiz2 | + C de volta na expressão:
Resposta
A integral -1raiz2 ln | tan(x2) - 1 - raiz2tan(x2) - 1 + raiz2 | + C é igual a: