Calcule
com
o círculo
percorrido uma vez no sentido anti-horário.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
onde
é o círculo definido por
, percorrido uma vez no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar a parametrização de curvas e técnicas de cálculo de integrais de linha.
Passo 2
Vamos parametrizar o círculo
. Como
é um círculo de raio
centrado na origem, podemos usar coordenadas polares para descrevê-lo:
onde
varia de
a
para percorrer todo o círculo.
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Passo 5
Simplificamos o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 6
Fatoramos
no numerador e cancelamos com o denominador:
Passo 7
Expandimos os termos dentro da integral:
Os termos
e
se cancelam, restando:
Passo 8
Sabemos que
, então:
Portanto, a integral se simplifica para:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
Resolva os problemas de valor inicial:
Calcule
com
sendo a curva
.
Resolva as equações: