Calcule integralC (x+y) d x-(x-y) d yx^2+y^2 com C o círculo x^2+y^2=a^2 percorrido uma vez no sentido anti-horário.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha
integralC (x + y) , dx - (x - y) , dyx^2 + y^2
onde é o círculo definido por , percorrido uma vez no sentido anti-horário. Para resolver isso, vamos usar a parametrização de curvas e técnicas de cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Vamos parametrizar o círculo x = a cos theta . Como y = a sin theta é um círculo de raio centrado na origem, podemos usar coordenadas polares para descrevê-lo:
onde varia de a para percorrer todo o círculo.

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas de dx = -a sin theta , dtheta e dy = a cos theta , dtheta em relação a :

Passo 4

Substituímos integral0^2pi (a cos theta + a sin theta)(-a sin theta) - (a cos theta - a sin theta)(a cos theta)a^2 cos^2 theta + a^2 sin^2 theta , dtheta , , e na integral original:

Passo 5

Simplificamos o denominador:
x^2 + y^2 = a^2 cos^2 theta + a^2 sin^2 theta = a^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = a^2
Então, a integral fica:
integral0^2pi (a cos theta + a sin theta)(-a sin theta) - (a cos theta - a sin theta)(a cos theta)a^2 , dtheta

Passo 6

Fatoramos integral0^2pi a^2 [-(cos theta + sin theta)sin theta - (cos theta - sin theta)cos theta]a^2 , dtheta = integral0^2pi [-(cos theta sin theta + sin^2 theta) - (cos^2 theta - cos theta sin theta)] , dtheta no numerador e cancelamos com o denominador:

Passo 7

Expandimos os termos dentro da integral:
- cos theta sin theta - sin^2 theta - cos^2 theta + cos theta sin theta
Os termos - sin^2 theta - cos^2 theta e se cancelam, restando:

Passo 8

Sabemos que - (sin^2 theta + cos^2 theta) = -1 , então:
integral0^2pi (-1) , dtheta = - integral0^2pi dtheta = -2pi
Portanto, a integral se simplifica para:

Resposta

O valor da integral é .

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