Resolva os problemas de valor inicial: b { ddot(y) - 3 dot(y) + 2 y = 0; y(1) = 0, dot(y)(1) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Aqui, representa a segunda derivada de em relação ao tempo, e a primeira derivada. Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, e , então a equação característica é:

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos fatorar:
Assim, temos duas raízes distintas:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar as condições iniciais e .
Primeiro, substituímos na solução geral:
Agora, vamos calcular a derivada da solução geral:
Substituindo :

Passo 6

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos na primeira equação:

Passo 7

Com os valores de e encontrados, a solução particular da equação diferencial é:
Podemos simplificar um pouco a expressão:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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