Resolva os problemas de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais. O enunciado é:
Aqui,
representa a segunda derivada de
em relação ao tempo, e
a primeira derivada. Vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma:
A equação característica é:
No nosso caso,
e
, então a equação característica é:
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos fatorar:
Assim, temos duas raízes distintas:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar as condições iniciais
e
.
Primeiro, substituímos
na solução geral:
Agora, vamos calcular a derivada da solução geral:
Substituindo
:
Passo 6
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, substituímos
na primeira equação:
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular da equação diferencial é:
Podemos simplificar um pouco a expressão:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
Calcule a integral de linha do campo vetorial
ao longo do caminho descrito.
de
a
pelo segmento de reta ligando esses dois pontos.
Resolva as equações:
Calcule
com
o círculo
percorrido uma vez no sentido anti-horário.