Calcule integralC x^2+y^2 d s com C sendo a curva r(t)=(a(cos t+t sin t), a(sin t-t cos t)), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC x^2+y^2 , d s, onde C é uma curva definida pela função vetorial r(t) = (a(cos t + t sin t), a(sin t - t cos t)) para 0 <= t <= 2pi. O conteúdo aqui é de Cálculo, mais especificamente de Integrais de Linha. Vamos precisar usar parametrização de curvas, derivadas e o conceito de diferencial de arco ( d s) para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva C. A função vetorial r(t) nos dá as coordenadas x e y em função do parâmetro t:
x(t) = a(cos t + t sin t)
y(t) = a(sin t - t cos t)

Passo 3

Agora, precisamos calcular x^2 + y^2. Vamos elevar cada função ao quadrado e somar:
x^2 = [a(cos t + t sin t)]^2 = a^2(cos t + t sin t)^2
y^2 = [a(sin t - t cos t)]^2 = a^2(sin t - t cos t)^2
x^2 + y^2 = a^2[(cos t + t sin t)^2 + (sin t - t cos t)^2]

Passo 4

Vamos expandir os quadrados:
(cos t + t sin t)^2 = cos^2 t + 2 t sin t cos t + t^2 sin^2 t
(sin t - t cos t)^2 = sin^2 t - 2 t sin t cos t + t^2 cos^2 t
x^2 + y^2 = a^2[cos^2 t + 2 t sin t cos t + t^2 sin^2 t + sin^2 t - 2 t sin t cos t + t^2 cos^2 t]

Passo 5

Simplificando a expressão:
x^2 + y^2 = a^2[cos^2 t + sin^2 t + t^2 (sin^2 t + cos^2 t)]
Como cos^2 t + sin^2 t = 1, temos:
x^2 + y^2 = a^2[1 + t^2 cdot 1] = a^2(1 + t^2)

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco d s. Para isso, calculamos a derivada de r(t) em relação a t:
r,'(t) = ( ddt[a(cos t + t sin t)], ddt[a(sin t - t cos t)] )
Calculando as derivadas:
ddt[a(cos t + t sin t)] = a(-sin t + sin t + t cos t) = a t cos t
ddt[a(sin t - t cos t)] = a(cos t - cos t + t sin t) = a t sin t
Então,
r,'(t) = (a t cos t, a t sin t)

Passo 7

O diferencial de arco d s é a magnitude de r,'(t) multiplicada por dt:
d s = |r,'(t)| , dt = raiz(a t cos t)^2 + (a t sin t)^2 , dt
d s = raiza^2 t^2 cos^2 t + a^2 t^2 sin^2 t , dt = raiza^2 t^2 (cos^2 t + sin^2 t) , dt
Como cos^2 t + sin^2 t = 1:
d s = raiza^2 t^2 , dt = a t , dt

Passo 8

Agora, substituímos x^2 + y^2 e d s na integral original:
integralC x^2+y^2 , d s = integral0^2pi a^2(1 + t^2) cdot a t , dt = a^3 integral0^2pi t (1 + t^2) , dt
Expandindo a expressão dentro da integral:
a^3 integral0^2pi (t + t^3) , dt

Passo 9

Vamos calcular a integral:
a^3 [ integral0^2pi t , dt + integral0^2pi t^3 , dt ]
Calculando cada parte:
integral t , dt = 12 t^2 e integral t^3 , dt = 14 t^4
Avaliado de 0 a 2pi:
12 (2pi)^2 - 12(0)^2 = 12 cdot 4pi^2 = 2pi^2
14 (2pi)^4 - 14(0)^4 = 14 cdot 16pi^4 = 4pi^4
Então:
a^3 (2pi^2 + 4pi^4) = 2a^3pi^2 + 4a^3pi^4

Resposta

A integral vale 2a^3pi^2 + 4a^3pi^4.

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