Calcule
com
sendo a curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é uma curva definida pela função vetorial
para
. O conteúdo aqui é de Cálculo, mais especificamente de Integrais de Linha. Vamos precisar usar parametrização de curvas, derivadas e o conceito de diferencial de arco (
) para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. A função vetorial
nos dá as coordenadas
e
em função do parâmetro
:
Passo 3
Agora, precisamos calcular
. Vamos elevar cada função ao quadrado e somar:
Passo 4
Vamos expandir os quadrados:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Como
, temos:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o diferencial de arco
. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 7
O diferencial de arco
é a magnitude de
multiplicada por
:
Como
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na integral original:
Expandindo a expressão dentro da integral:
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Calculando cada parte:
Avaliado de
a
:
Então:
Resposta
A integral vale
.
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com
o círculo
percorrido uma vez no sentido anti-horário.
Resolva as equações:
Resolva as equações:
Use o teorema da convolução para encontrar
.
.