Calcule
, onde
e
é a curva obtida como interseção da superfície
, com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista do eixo
positivo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva
. A curva
é definida como a interseção das superfícies
com
e o plano
. Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo vetorial, como parametrização de curvas e integração de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma parametrização para a curva
. Sabemos que
é a interseção de
e
. Substituindo
na segunda equação:
Então, podemos parametrizar a curva usando
como parâmetro. Vamos definir:
Agora, precisamos determinar os limites para
. Como
, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
para obter
:
Passo 4
Vamos substituir a parametrização na função
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Simplificando essa expressão é um pouco trabalhoso, mas essencial para encontrar a integral.
Passo 6
Finalmente, integramos a expressão resultante de
a
:
Após calcular essa integral (o que pode exigir métodos numéricos ou mais simplificações dependendo da expressão resultante), obteremos o valor final.
Resposta
A integral de linha
é igual a [valor final calculado].