Calcule
sendo
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, que envolve coordenadas no espaço tridimensional. O conteúdo principal é Cálculo Vetorial, mais especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar da parametrização da curva
e das componentes da integral que queremos calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Ela está parametrizada por:
Isso significa que
, e
. Vamos precisar dessas expressões para substituir na integral.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a
, que são
,
e
:
Essas derivadas vão nos ajudar a substituir
,
e
na integral.
Passo 4
Vamos reescrever a integral de linha com essas parametrizações. A integral original é:
Substituindo
,
,
e suas derivadas, temos:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte da integral:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
- Integrando o primeiro termo:
Sabemos que:
Então:
- Integrando o segundo termo:
Observando que
é uma função ímpar e é uma função par, o produto é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
- Integrando o terceiro termo:
Vamos separar:
O primeiro integral, por simetria, também é zero, e o segundo é:
Resposta
Somando todas as integrais:
Portanto, a resposta final é: