Calcule integralC(z-y) d x+ln (1+y^2) d y+[ln (1+z^2)+y] d z, sendo C dada por r(t)=(4 cos t, 4 sen t, 4-4 cos t), 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular uma integral de linha, que envolve coordenadas no espaço tridimensional. O conteúdo principal é Cálculo Vetorial, mais especificamente integrais de linha. Para resolver, vamos precisar da parametrização da curva e das componentes da integral que queremos calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva r(t) = (4 cos t, 4 sen t, 4 - 4 cos t), 0 <= t <= 2pi . Ela está parametrizada por:
Isso significa que , e . Vamos precisar dessas expressões para substituir na integral.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas dessas funções em relação a dxdt = -4 sen t, dydt = 4 cos t, dzdt = 4 sen t , que são , e :
Essas derivadas vão nos ajudar a substituir , e na integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral de linha com essas parametrizações. A integral original é:
integralC (z - y) , dx + ln(1 + y^2) , dy + [ln(1 + z^2) + y] , dz
Substituindo integral0^2pi [(4 - 4 cos t - 4 sen t)(-4 sen t) + ln(1 + (4 sen t)^2) cdot 4 cos t + [ln(1 + (4 - 4 cos t)^2) + 4 sen t] cdot 4 sen t] dt , , e suas derivadas, temos:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte da integral:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada parte separadamente:
  1. Integrando o primeiro termo:
Sabemos que:
Então:
integral0^2pi (-16 sen t + 16 sen t cos t + 16 sen^2 t) dt
  1. Integrando o segundo termo:
Observando que integral0^2pi sen t , dt = 0, integral0^2pi sen t cos t , dt = 0, integral0^2pi sen^2 t , dt = pi é uma função ímpar e é uma função par, o produto é uma função ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
-16 cdot 0 + 16 cdot 0 + 16 cdot pi = 16pi
  1. Integrando o terceiro termo:
Vamos separar:
O primeiro integral, por simetria, também é zero, e o segundo é:
integral0^2pi ln(1 + 16 sen^2 t) cdot 4 cos t , dt

Resposta

Somando todas as integrais:
16pi + 0 + 16pi = 32pi
Portanto, a resposta final é:
32pi

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