Seja o campo
, tal que
, onde
é de classe
. Calcule
, onde
é a curva dada pela interseção das superfícies
e
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial
cujo rotacional é dado por
, onde
é uma função diferenciável com
. A tarefa é calcular a integral de linha
, onde
é a curva de interseção das superfícies
e
, orientada anti-horário visto de cima.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada à integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por essa curva. Precisaremos:
- Entender e aplicar o Teorema de Stokes.
- Encontrar uma superfície
cujo contorno é a curva . - Calcular a integral de superfície
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a curva
. Ela é a interseção de duas superfícies:
-
: uma parábola circular. -
: um cilindro circular com eixo paralelo ao eixo , deslocado no eixo .
A interseção dessas duas superfícies forma uma curva fechada. Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos escolher uma superfície
limitada por
. Uma escolha conveniente é a região do cilindro
que está acima da parábola
.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a superfície
. Observando o cilindro
, podemos usar coordenadas cilíndricas deslocadas:
-
-
-
(variando de até o topo da superfície, mas como estamos integrando sobre a parte do cilindro até a interseção, será fixo pela parábola).
No entanto, uma abordagem mais simples é notar que a superfície
é o disco circular na parábola
dentro do cilindro
.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema de Stokes:
onde
é o vetor normal à superfície
. Como a orientação de
é anti-horário visto de cima, o vetor normal terá componente positiva na direção
.
Passo 5
Calculando o rotacional de
:
Precisamos dotar esse vetor com o vetor normal
. Como a superfície
está orientada para cima,
.
Portanto,
Passo 6
Agora, a integral de superfície se simplifica para:
Precisamos expressar
na parametrização escolhida. Na superfície
, o elemento de área diferencial em coordenadas cartesianas é:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
Passo 7
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região de interseção das duas superfícies. A curva
está definida por:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em
no plano
. Portanto, a área de integração é o disco definido por esse círculo.
Podemos usar coordenadas polares deslocadas para
:
Passo 8
Substituindo na expressão de
:
Agora, a função
depende de
. Mas como
é de classe
e sabemos que
, precisamos considerar a forma específica de
. Sem mais informações, assumimos que
é contínua e avaliável na região de integração.
Passo 9
A integral fica:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 10
A integral final é bastante complexa e depende da forma específica de
. Sem mais detalhes sobre
além de
, não podemos simplificar mais. Portanto, a resposta geral é:
Resposta
A integral de linha é igual à integral de superfície dada por