Seja o campo F, tal que rot F=(-4 x, 2(y-1), f(z)), onde f: R longrightarrow R é de classe C^1 com f(0)=1. Calcule integralC F cdot d r, onde C é a curva dada pela interseção das superfícies z=x^2+y^2 e x^2+(y-1)^2=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial F cujo rotacional é dado por rot F = (-4x, 2(y-1), f(z)), onde f(z) é uma função diferenciável com f(0) = 1. A tarefa é calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde C é a curva de interseção das superfícies z = x^2 + y^2 e x^2 + (y-1)^2 = 1, orientada anti-horário visto de cima.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha de um campo vetorial sobre uma curva fechada à integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície limitada por essa curva. Precisaremos:
  • Entender e aplicar o Teorema de Stokes.
  • Encontrar uma superfície S cujo contorno é a curva C.
  • Calcular a integral de superfície integral duplaS (rot F) cdot dS.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva C. Ela é a interseção de duas superfícies:
  1. z = x^2 + y^2: uma parábola circular.
  2. x^2 + (y-1)^2 = 1: um cilindro circular com eixo paralelo ao eixo z, deslocado no eixo y.
A interseção dessas duas superfícies forma uma curva fechada. Para aplicar o Teorema de Stokes, precisamos escolher uma superfície S limitada por C. Uma escolha conveniente é a região do cilindro x^2 + (y-1)^2 = 1 que está acima da parábola z = x^2 + y^2.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a superfície S. Observando o cilindro x^2 + (y-1)^2 = 1, podemos usar coordenadas cilíndricas deslocadas:
  • x = cos theta
  • y = 1 + sin theta
  • z = z (variando de z = x^2 + y^2 até o topo da superfície, mas como estamos integrando sobre a parte do cilindro até a interseção, z será fixo pela parábola).
No entanto, uma abordagem mais simples é notar que a superfície S é o disco circular na parábola z = x^2 + y^2 dentro do cilindro x^2 + (y-1)^2 = 1.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema de Stokes:
integralC F cdot dr = integral duplaS (rot F) cdot n , dS
onde n é o vetor normal à superfície S. Como a orientação de C é anti-horário visto de cima, o vetor normal terá componente positiva na direção z.

Passo 5

Calculando o rotacional de F:
rot F = (-4x, 2(y-1), f(z))
Precisamos dotar esse vetor com o vetor normal n. Como a superfície S está orientada para cima, n = (0, 0, 1).
Portanto,
(rot F) cdot n = f(z)

Passo 6

Agora, a integral de superfície se simplifica para:
integral duplaS f(z) , dS
Precisamos expressar dS na parametrização escolhida. Na superfície z = x^2 + y^2, o elemento de área diferencial em coordenadas cartesianas é:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = 2y
Então,
dS = raiz1 + (2x)^2 + (2y)^2 , dx , dy = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy

Passo 7

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região de interseção das duas superfícies. A curva C está definida por:
x^2 + (y - 1)^2 = 1
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em (0,1) no plano xy. Portanto, a área de integração é o disco definido por esse círculo.
Podemos usar coordenadas polares deslocadas para (0,1):
  • x = r cos theta
  • y - 1 = r sin theta
  • 0 <= r <= 1
  • 0 <= theta <= 2pi

Passo 8

Substituindo na expressão de z:
z = x^2 + y^2 = r^2 cos^2 theta + (1 + r sin theta)^2 = r^2 cos^2 theta + 1 + 2r sin theta + r^2 sin^2 theta = 1 + 2r sin theta + r^2
Agora, a função f(z) depende de z. Mas como f é de classe C^1 e sabemos que f(0) = 1, precisamos considerar a forma específica de f(z). Sem mais informações, assumimos que f(z) é contínua e avaliável na região de integração.

Passo 9

A integral fica:
integral duplaS f(z) , dS = integral0^2pi integral0^1 f(1 + 2r sin theta + r^2) cdot raiz1 + 4x^2 + 4y^2 cdot r , dr , dtheta
Substituindo x e y:
raiz1 + 4(r cos theta)^2 + 4(1 + r sin theta)^2 = raiz1 + 4r^2 cos^2 theta + 4(1 + 2r sin theta + r^2 sin^2 theta)
Simplificando:
= raiz1 + 4r^2 cos^2 theta + 4 + 8r sin theta + 4r^2 sin^2 theta = raiz5 + 8r sin theta + 4r^2 (cos^2 theta + sin^2 theta) = raiz5 + 8r sin theta + 4r^2

Passo 10

A integral final é bastante complexa e depende da forma específica de f(z). Sem mais detalhes sobre f(z) além de f(0) = 1, não podemos simplificar mais. Portanto, a resposta geral é:
integralC F cdot dr = integral duplaS f(z) raiz5 + 8r sin theta + 4r^2 , r , dr , dtheta

Resposta

A integral de linha é igual à integral de superfície dada por
integralC F cdot dr = integral duplaS f(z) raiz5 + 8r sin theta + 4r^2 , r , dr , dtheta

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