Calcule integralC^-1 nabla f d r onde C t́ a curva braquistóerona, dada por gamma(t)=(t-sin t, 1-cos t), t in[-2 pi, 2 pi] e f(x, y)=x cos x+y cos y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de linha , onde é a curva braquistórona invertida. A curva braquistórona aqui é dada por para e a função é .
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais de linha envolvendo gradientes. Vamos precisar entender o que é o gradiente, como parametrizar a curva e como calcular a integral usando esses conceitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior aumento de . Matemáticamente, é dado por:
Vamos calcular isso para a nossa função .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = cos x - x sin x
partial fpartial y = cos y - y sin y
Então, o gradiente nabla f = (cos x - x sin x, cos y - y sin y) é:

Passo 4

Agora, vamos entender a curva . A curva original é parametrizada por para . A curva é simplesmente percorrida no sentido inverso. Para facilitar, podemos considerar que varia de a .

Passo 5

Para calcular a integral integralC nabla f , dr = f(final) - f(inicial) , usamos a propriedade de que a integral de um gradiente ao longo de uma curva depende apenas dos pontos finais. Especificamente:
integralC^-1 nabla f , dr = f(inicial) - f(final)
Mas como estamos integrando ao longo de , a ordem dos pontos finais se inverte:

Passo 6

Vamos identificar os pontos inicial e final de gamma(-2pi) = (-2pi - sin(-2pi), 1 - cos(-2pi)) = (-2pi, 1 - 1) = (-2pi, 0) . Para gamma(2pi) = (2pi - sin(2pi), 1 - cos(2pi)) = (2pi, 1 - 1) = (2pi, 0) :
Para :
Então, a curva vai de a , e vai de a .

Passo 7

Aplicando a propriedade da integral de gradiente:
integralC^-1 nabla f , dr = f(-2pi, 0) - f(2pi, 0)
Vamos calcular e .

Passo 8

Calculando f(-2pi, 0) = (-2pi) cos(-2pi) + 0 cdot cos 0 = (-2pi)(1) + 0 = -2pi :
f(2pi, 0) = (2pi) cos(2pi) + 0 cdot cos 0 = (2pi)(1) + 0 = 2pi
Calculando :

Passo 9

Substituindo esses valores na integral:
integralC^-1 nabla f , dr = (-2pi) - (2pi) = -4pi

Resposta

A integral vale .

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