Calcule integralC F. de onde C é a curva dada por gamma(t)=(t^3,-t^2, t), t in[0,1] e F(x, y, z)=(sin x, cos y, x z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo da curva definida por para entre 0 e 1. Para isso, precisamos usar o conceito de integral de linha de um campo vetorial, que envolve substituir a curva na função e integrar o produto escalar com a derivada da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva gamma'(t) = ( ddt t^3, ddt (-t^2), ddt t ) = (3t^2, -2t, 1) . Isso significa derivar cada componente de em relação a :
Essa derivada representa a velocidade da curva em cada ponto .

Passo 3

Agora, vamos substituir a curva F(gamma(t)) = ( sin(t^3), cos(-t^2), t^3 cdot t ) = (sin(t^3), cos(t^2), t^4) no campo vetorial para obter :
Note que porque o cosseno é uma função par.

Passo 4

Com F(gamma(t)) cdot gamma'(t) = sin(t^3) cdot 3t^2 + cos(t^2) cdot (-2t) + t^4 cdot 1 = 3t^2 sin(t^3) - 2t cos(t^2) + t^4 e encontrados, vamos calcular o produto escalar entre eles:
Esse é o integrando que vamos usar na próxima etapa.

Passo 5

Finalmente, vamos integrar essa expressão de integral0^1 ( 3t^2 sin(t^3) - 2t cos(t^2) + t^4 ) dt a [ -cos(t^3) - sin(t^2) + t^55 ]0^1 = ( -cos(1) - sin(1) + 15 ) - ( -cos(0) - sin(0) + 0 ) :
-cos(1) - sin(1) + 15 + 1 = 1 - cos(1) - sin(1) + 15
Vamos resolver cada termo separadamente:
  1. Para 1 + 15 - cos(1) - sin(1) = 65 - cos(1) - sin(1) , fazemos a substituição , então . Assim, a integral se torna .
  2. Para , fazemos , então . A integral fica .
  3. Para , a integral é .
Então, a integral completa de 0 a 1 é:
Sabemos que e , então:
Simplificando:

Resposta

A integral solicitada é .

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