Calcule
. de onde
é a curva dada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo da curva
definida por
para
entre 0 e 1. Para isso, precisamos usar o conceito de integral de linha de um campo vetorial, que envolve substituir a curva na função e integrar o produto escalar com a derivada da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da curva
. Isso significa derivar cada componente de
em relação a
:
Essa derivada representa a velocidade da curva em cada ponto
.
Passo 3
Agora, vamos substituir a curva
no campo vetorial
para obter
:
Note que
porque o cosseno é uma função par.
Passo 4
Com
e
encontrados, vamos calcular o produto escalar entre eles:
Esse é o integrando que vamos usar na próxima etapa.
Passo 5
Finalmente, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos resolver cada termo separadamente:
-
Para
, fazemos a substituição , então . Assim, a integral se torna . -
Para
, fazemos , então . A integral fica . -
Para
, a integral é .
Então, a integral completa de 0 a 1 é:
Sabemos que
e
, então:
Simplificando:
Resposta
A integral solicitada é
.
Exercícios relacionados
Óleo escoa com uma vazão de
por um tubo de ferro fundido de 500 m de comprimento e 200 mm de diâmetro o qual apresenta uma rugosidade
. Nestas condições, no diagrama de Moody se obtém um fator de atrito igual a 0,0225 . Determine a perda de carga na tubulação. Dados:
Fórmulas: ;
Boas Férias! Feliz Natal! Feliz 2024!
Fórmulas:
Boas Férias! Feliz Natal! Feliz 2024!
Uma adutora cm fofo (ferro fundido),
de comprimento, interliga uma captação à uma E.T A, sabendo-se que o desnivel é de
e que o diâmetro é de 200 mm , calcule a vazão
- Rugosidade para fofo revestida cimento
.
.
Calcule
onde
t́ a curva braquistóerona, dada por
e
Água entra em um tubo a 270 C com uma vazão de
. A transferência de calor da parede do tubo para o fluido é dada pela expressão
, sendo o coeficiente igual a
e
a distância axial para a entrada do tubo.
a) Partindo de um volume de controle diferencial propriamente definido, deduza uma expressão para a distribuição de temperatura na água.
a) Partindo de um volume de controle diferencial propriamente definido, deduza uma expressão para a distribuição de temperatura