Use o teorema da convolução para encontrar
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o teorema da convolução para achar
, que é a transformada inversa de Laplace de
. Ou seja, queremos encontrar:
Vamos precisar entender o que é o teorema da convolução e como aplicá-lo para resolver essa transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos recordar o que é o teorema da convolução. Na transformada de Laplace, o teorema da convolução nos diz que se temos duas funções
e
que são transformadas de
e
respectivamente, então a transformada de Laplace do produto dessas funções é a convolução das funções no domínio do tempo:
E a convolução
é definida como:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Queremos encontrar
. Podemos reescrever
como o produto de duas frações iguais:
Isso significa que podemos considerar
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de
e
. Sabemos que:
Então,
e
.
Passo 5
Com
e
encontrados, aplicamos a definição da convolução:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Resposta
Então, a transformada inversa de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
Calcule
com
sendo a curva
.
Use uma tabela para calcular
:
Escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada de Laplace da função dada.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)