Use o teorema da convolução para encontrar f(t).
L^{-1}(1/(s+1)^{2}).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que usar o teorema da convolução para achar , que é a transformada inversa de Laplace de . Ou seja, queremos encontrar:
Vamos precisar entender o que é o teorema da convolução e como aplicá-lo para resolver essa transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos recordar o que é o teorema da convolução. Na transformada de Laplace, o teorema da convolução nos diz que se temos duas funções e que são transformadas de e respectivamente, então a transformada de Laplace do produto dessas funções é a convolução das funções no domínio do tempo:
E a convolução é definida como:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao nosso problema. Queremos encontrar . Podemos reescrever como o produto de duas frações iguais:
Isso significa que podemos considerar .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as transformadas inversas de e . Sabemos que:
Então, e .

Passo 5

Com e encontrados, aplicamos a definição da convolução:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Resposta

Então, a transformada inversa de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Resolva as equações: e y'' - 7 y' + 12 y = -e^(4 x)
Calcule integralC x^2+y^2 d s com C sendo a curva r(t)=(a(cos t+t sin t), a(sin t-t cos t)), 0 <= t <= 2 pi.
Use uma tabela para calcular Lf(t) :
ll a) f(t)=(t+1)^3 & b) f(t)=(1+e^t)^2 c) f(t)=t^2-e^-9 t+5 & d) f(t)=4 t^2-5 sen 3 t e) f(t)=sen 2 t cos 2 t & f) f(t)=cos ^2 t g) f(t)=cos t cos 2 t & h) f(t)=sen t cos 2 t i) f(t)=sen^3 t & j) f(t)=sen t sen 2 t
Escreva cada função em termos de funções degrau unitário. Encontre a transformada de Laplace da função dada.
a) f(t) = { 0, 0 <= t < 1; t^2, t >= 1 }
b) f(t) = { sent, 0 <= t < 2 pi; 0, t >= 2 pi }
c) f(t) = { 0, 0 <= t < 3 pi / 2; sent, t >= 3 pi / 2 }
d) f(t) = { 1, 0 <= t < 4; 0, 4 <= t < 5; 1, t >= 5 }