(2,0) Calcule integralgamma F cdot d r onde F(x, y, z)=(2 y^3-8 x z^2) i+(6 x y^2+1) j-(8 x^2 z+3 z^2) k e gamma é uma curva regular por partes ligando os pontos A=(2,0,0) até B=(3,2,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado e é uma curva que liga os pontos até . O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha e campos conservativos. Vamos precisar verificar se é um campo conservativo e, se for, usar uma função potencial para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se seu rotacional ( ) for zero. Então, vamos calcular o rotacional de .

Passo 3

O campo F(x, y, z) = (2 y^3 - 8 x z^2) i + (6 x y^2 + 1) j - (8 x^2 z + 3 z^2) k é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Calculamos o rotacional partial Fzpartial y = 0, partial Fypartial z = 0 :
partial Fxpartial z = -16 x z, partial Fzpartial x = -16 x z
Calculando cada componente:
partial Fypartial x = 6 y^2, partial Fxpartial y = 6 y^2
nabla times F = (0 - 0)i + (-16 x z + 16 x z)j + (6 y^2 - 6 y^2)k = 0
Portanto:
Como o rotacional é zero, é um campo conservativo.

Passo 4

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que . A integral de linha então será simplesmente . Vamos encontrar essa função potencial .

Passo 5

Sabendo que partial phipartial x = 2 y^3 - 8 x z^2 , temos:
phi(x, y, z) = integral (2 y^3 - 8 x z^2) dx = 2 y^3 x - 4 x^2 z^2 + g(y, z)
Integrando em relação a :
Onde é uma função de integração que depende de e .

Passo 6

Agora, derivamos partial phipartial y = 6 x y^2 + partial gpartial y = 6 x y^2 + 1 em relação a partial gpartial y = 1 implies g(y, z) = y + h(z) e igualamos a :
Portanto:
Onde é outra função de integração que depende apenas de .

Passo 7

Agora, derivamos partial phipartial z = -8 x^2 z + partial hpartial z = -8 x^2 z - 3 z^2 em relação a partial hpartial z = -3 z^2 implies h(z) = -z^3 + C e igualamos a :
Então:
Onde é uma constante.

Passo 8

Agora, temos a função potencial completa:
phi(x, y, z) = 2 y^3 x - 4 x^2 z^2 + y - z^3 + C
Como estamos calculando a diferença , a constante se cancela.

Passo 9

Vamos calcular phi(3, 2, 1) = 2 cdot 2^3 cdot 3 - 4 cdot 3^2 cdot 1^2 + 2 - 1^3 = 2 cdot 8 cdot 3 - 4 cdot 9 cdot 1 + 2 - 1 = 48 - 36 + 2 - 1 = 13 nos pontos phi(2, 0, 0) = 2 cdot 0^3 cdot 2 - 4 cdot 2^2 cdot 0^2 + 0 - 0^3 = 0 - 0 + 0 - 0 = 0 e :
Para :
Para :

Resposta

A integral é igual a .

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