Calcule
onde
e
é uma curva regular por partes ligando os pontos
até
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
é dado e
é uma curva que liga os pontos
até
. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha e campos conservativos. Vamos precisar verificar se
é um campo conservativo e, se for, usar uma função potencial para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se seu rotacional (
) for zero. Então, vamos calcular o rotacional de
.
Passo 3
O campo
é dado por:
Calculamos o rotacional
:
Calculando cada componente:
Portanto:
Como o rotacional é zero,
é um campo conservativo.
Passo 4
Como
é conservativo, existe uma função potencial
tal que
. A integral de linha então será simplesmente
. Vamos encontrar essa função potencial
.
Passo 5
Sabendo que
, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de integração que depende de
e
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Portanto:
Onde
é outra função de integração que depende apenas de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Então:
Onde
é uma constante.
Passo 8
Agora, temos a função potencial completa:
Como estamos calculando a diferença
, a constante
se cancela.
Passo 9
Vamos calcular
nos pontos
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Descreva como é o funcionamento de um tiristor SCR ?