Calcule onde e é uma curva regular por partes ligando os pontos até

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é dado e é uma curva que liga os pontos até . O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, mais especificamente integrais de linha e campos conservativos. Vamos precisar verificar se é um campo conservativo e, se for, usar uma função potencial para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se seu rotacional ( ) for zero. Então, vamos calcular o rotacional de .

Passo 3

O campo é dado por:
Calculamos o rotacional :
Calculando cada componente:
Portanto:
Como o rotacional é zero, é um campo conservativo.

Passo 4

Como é conservativo, existe uma função potencial tal que . A integral de linha então será simplesmente . Vamos encontrar essa função potencial .

Passo 5

Sabendo que , temos:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de integração que depende de e .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Portanto:
Onde é outra função de integração que depende apenas de .

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Então:
Onde é uma constante.

Passo 8

Agora, temos a função potencial completa:
Como estamos calculando a diferença , a constante se cancela.

Passo 9

Vamos calcular nos pontos e :
Para :
Para :

Resposta

A integral é igual a .

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